PAGEPAGE1例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径(中学教研2017／3)杨伟达（广州市花都区第二中学510800）众所周知，距离问题本是一个古老的话题．但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石．因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果．下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力．一、借助特殊曲线，寻求等价替换有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质．此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值.例1已知圆：（1）略；（2）从圆外一点向圆引一条切线，为切点，为坐标原点，且有，求使最小的点的坐标．分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特殊）．解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决．解：已知圆方程：所以圆心坐标为，半径为，又因为，设，且是圆的切线，所以所以化简为：这是点P满足的轨迹方程.因为，所以的最小值就是的最小值.的最小值转化为点O到直线的距离.即联立方程组有，解得：因此，点P的坐标为.例2分别在椭圆与抛物线上的两动点M、N间的距离最小值是5，则的值是（）（A）（B）（C）（D）分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊．观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离．此时问题就变得简单了.图1NMOyx解：因为M、N间的距离最小值是5所以椭圆与抛物线不相交如图1，观察，此时抛物线的顶点N与椭圆上顶点M的距离就是两动点M、N间的距离最小值抛物线的顶点与椭圆上顶点的距离最小值为5所以解得：故选B.二、借助三角函数，寻求合二为一有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标
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示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值．比如：圆上一动点可表示为；椭圆上一动点可表示为.例3（2016·广州二测理数23）选修4－4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.略；(2)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现．比较快捷的解决方法是利用参数方程表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决.解：(1)略.所求曲线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为.(2)因为点是曲线上的点，所以可设点的坐标为所以点到直线的距离为.当时，.所以点到直线的距离的最大值为.三、借助数形结合，突显形象直观有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内，另一个动点在某特殊曲线上．此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决.例4设D为不等式组表示的平面区域，圆C:上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是A.B.C.D.分析：此题涉及线性规划问题.先将不等式组表示出平面区域，再根据圆的特殊性质通过数形结合可将问题解决.解：如图2，不等式组表示的平面区域如下图中三角形ABO内（含边缘）的阴影部分。其中三角形ABO的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（1，1）图2BAOyxC圆C:表示圆心坐标（5，0），半径为1的圆.所以求两个动点的距离转化为定点到动点的距离即先求圆心C到三角形ABO的阴影部分内任一动点的距离经观察可知，BC距离为最小；AC距离为最大所以所以两动点的最小距离为，最大距离为故选B.四、借助二次函数，寻求配方到位有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这些动点均可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为一元二次函数即可求得最值.例如人教版选修2-1第113页习题B组第二题.例5（人教版必修2第139页B组第3题）如图3，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.（1）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动，探究的最小值.分析：这是一道课本习题．两动点分别在两条异面直线上，关键是把动点用坐标表示出来，再转化为一元二次函数求最值.解：设正方体边长为，因为点P在对角线AB上运动，BPOCDxyzQ图3A所以设又因为点Q在棱CD上运动，所以设所以因为所以当且仅当时，等号成立此时，即当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时所以，.五、借助导数工具，寻求转换条件有这样的一类题，它们的一动点在函数图象上，另一动点在另一个函数（分段函数）图象上．若运用动点坐标距离公式，方法简单，但运算复杂，只能可望而不可及；此时若能借助导数这一工具，利用切线间的距离即可求得最值.例6已知实数，设函数，，设P、Q分别为、图象上的任意点，若线段PQ长度的最小值为，则实数的值为（）A．B．2C．D．2或分析：此题涉及两函数图象上的两动点问题．关键在于分别求出两曲线上的切线的最值问题，此时两切线为互相平行．值得注意的是要进行检验，防止“多一个”或“漏一个”.OMNBAxyC图3解：当时，P在函数图象上的最低点，点P的坐标为，所以，解得：当时，如图3，y轴左边，为最小y轴右边，观察图象发现与图象上有两个交点A，B再结合以C（0，1），可知观察还存在有比小的动点经检验，不符合当时，当P、Q分别在、图象上的各自切线间的距离时，此时PQ长度为最小对于任意，常过点（0，1），常过（1，0）不妨发现两点（0，1）与（1，0）间距离刚好为所以原问题转化为能否存在，使得分别过P（0，1），Q（1，0）处的切线平行，此时两切线的斜率相等所以即解得：经检验成立．故选C．总之，在历年的一些高考题中，对两动点间距离的最值问题根据题目条件选取不同方法进行求解，往往会有拔云见日的感觉．
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