20182019数学北师大版选修11 第二章1.2 椭圆的简单性质一 作业2

2018-2019数学北师大版选修1-1第二章1.2椭圆的简单性质（一）作业2第PAGE页[A.基础达标]1．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sinx；③f(x)＝cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有(　　)A．1个　　　　　　　　　B．2个C．3个D．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f(x)＝x，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝cosx为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x＋eq\f(4,3)y＝4上，则此椭圆的焦点坐标是(　　)A．(±5，0)B．(0，±5)C．(±eq\r(7)，0)D．(0，±eq\r(7))解析：选C.直线x＋eq\f(4,3)y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，故椭圆的焦点坐标为(±eq\r(7)，0)．3.如图，A、B、C分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(－1＋\r(5),2)B.eq\r(5)－1C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\r(2)－1解析：选A.因为Rt△AOB∽Rt△BOC，所以eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，即b2＝ac，又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，即c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，又e∈(0，1)，所以e＝eq\f(－1＋\r(5),2).4．如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是(　　)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1D.eq\f(x2,3)＋y2＝1解析：选A.因为a＝|AO|＝2，b＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故该椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.5．设AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是(　　)A．98aB．99aC．100aD．101a解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，|F1Pi|＋|F2Pi|＝2a(i＝1，2，…，99)，P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，eq\i\su(i＝1,99,)（|F1Pi|＋|F2Pi|）＝2a×99＝198a，eq\i\su(i＝1,99,)|F1Pi|＝eq\f(1,2)eq\i\su(i＝1,99,)(|F1Pi|＋|F2Pi|)＝99a.又因为|F1A|＋|F1B|＝2a，所以|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|＝99a＋2a＝101a.6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为eq\f(3,5)，则该椭圆的 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方程为________．解析：由题意知，2a＝20，a＝10，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，所以c＝6，b2＝a2－c2＝64.故椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1.答案：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝17．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________．解析：将椭圆化为标准方程为eq\f(x2,\f(1,m＋1))＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，则必有m>0.因为m＋1>m>0，所以eq\f(1,m＋1)<eq\f(1,m).所以a2＝eq\f(1,m)，a＝eq\f(\r(m),m)，2a＝eq\f(2\r(m),m).答案：eq\f(2\r(m),m)8．若椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，则实数m的取值范围为________．解析：当焦点在x轴上时，可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜m＜4，,\f(\r(2),2)≤\f(\r(4－m),2)＜1，))解得m∈(0，2]；当焦点在y轴上时，可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞4，,\f(\r(2),2)≤\f(\r(m－4),\r(m))＜1，))解得m∈[8，＋∞)，故m∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，因为m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m（m＋2）,m＋3)>0，所以m>eq\f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m（m＋2）,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.所以a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－eq\f(\r(3),2)，0)，(eq\f(\r(3),2)，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－eq\f(1,2))，(0，eq\f(1,2))．10．(1)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝eq\f(1,2).求椭圆E的方程．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由e＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆方程可化为eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.将A(2，3)代入上式，得eq\f(1,c2)＋eq\f(3,c2)＝1，解得c2＝4，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所以eq\f(|PF1|,|F1F2|)＝eq\f(|AO|,|OB|)，所以eq\f(b2,2ac)＝eq\f(b,a)，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,5).所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).[B.能力提升]1．已知直线x＝t与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则使eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))取得最小值时，t的值为(　　)A．－eq\f(100,17)B．－eq\f(50,17)C.eq\f(50,17)D.eq\f(100,17)解析：选B.若P在x轴上方，则P(t，eq\r(9（1－\f(t2,25)）))，Q(t，－eq\r(9（1－\f(t2,25)）))，所以eq\o(FP,\s\up6(→))＝(t＋4，eq\r(9（1－\f(t2,25)）))，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(t＋4，－eq\r(9（1－\f(t2,25)）))，eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\f(34,25)t2＋8t＋7，t∈(－5，5)，其对称轴为t＝－eq\f(50,17)∈(－5，5)，故当t＝－eq\f(50,17)时，eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))取最小值．2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为eq\r(2)b，则该椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(\r(2),2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(3)－eq\r(2)解析：选C.由题意知，A(a，0)，直线BF的方程为eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，由题意得eq\f(|ab＋bc|,\r(b2＋c2))＝eq\r(2)b，即eq\f(a＋c,a)＝eq\r(2)，1＋eq\f(c,a)＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1，所以e＝eq\r(2)－1.3．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．　解析：由已知得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，则c＝eq\f(a,2).又x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝－eq\f(c,a)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(b2,a2)＋eq\f(2c,a)＝eq\f(b2＋2ca,a2)＝eq\f(b2＋a2,a2)＜eq\f(2a2,a2)＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．答案：点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率为________．解析：由eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AF,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3)＝eq\f(a,a＋c)，得a＝2c.故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点A(0，1)，离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)若点P是椭圆上的一点，求|AP|的最大值．解：(1)因为过点A(0，1)，所以b＝1，又因为离心率为eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，c＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设点P(x0，y0)，则满足eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，得xeq\o\al(2,0)＝4(1－yeq\o\al(2,0))，所以|AP|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝4(1－yeq\o\al(2,0))＋(y0－1)2，整理得|AP|2＝－3yeq\o\al(2,0)－2y0＋5＝－3(y0＋eq\f(1,3))2＋eq\f(16,3)，所以当y0＝－eq\f(1,3)时，|AP|max＝eq\f(4,3)eq\r(3).6．(选做题)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝120°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos120°＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn≥4a2－(eq\f(m＋n,2))2＝4a2－a2＝3a2(当且仅当m＝n时取等号)．所以eq\f(c2,a2)≥eq\f(3,4)，即e≥eq\f(\r(3),2).又0