设函数f(x)的定义域为I:一、函数的单调性 注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1
f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、单调区间1.取值:对任意x1,x2∈M,且x1
方法
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1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数. 2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:6.奇偶性:7.反函数: 奇函数在对称区间上具有相同的单调性;偶函数在对称区间上具有相反的单调性.互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.六、两类问
题
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的区别1.函数f(x)的单调递增(或递减)区间是D:2.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减):不等式f(x)>0(<0)的解集是区间D;不等式f(x)≥0(≤0)对于xD恒成立.若函数f(x)可导,1.试求函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的单调区间.xb解:∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),典型例题函数f(x)的导函数f(x)=a-=,bx2ax2-bx2∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-)与(,+∞), abab函数f(x)的单调递减区间是(-,0)与(0,).abab令f(x)<0得:x2<-0得:x2>x<-或x>;ababab ②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.注:①这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示:oyx2ab-2abbaba-2.试讨论函数y=2log2x-2logx+1的单调性.1212解:令t=logx,则t关于x在(0,+∞)上单调递减. 12而y=2t2-2t+1在(-∞,]上单减,在[,+∞)上单增,1212又由t≤ 得x≥,1222由t≥得00得:x<-1或01.故g(x)的单调递增区间是(-∞,-1)与(0,1); 单调递减区间是(-1,0)与(1,+∞). 4.已知f(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x)的单调区间.5.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论.f(x)1
分析
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:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.解:在R上任取x1,x2,设x1f(x1)且: F(x2)-F(x1)=[f(x2)+]-[f(x1)+]f(x1)1f(x2)1=[f(x2)-f(x1)][1-].f(x1)f(x2)1∵f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,∴当x<5时05时f(x)>1.①若x10,∴F(x2)x1>5,则f(x2)>f(x1)>1,∴f(x1)f(x2)>1,综上,F(x)在(-∞,5)上为减函数,在(5,+∞)上为增函数.∵f(x2)-f(x1)>0,∴F(x2)>F(x1).∴1->0,f(x1)f(x2)16.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①f(xy)=f(x)+f(y),②f(2)=1,③当x>1时,f(x)>0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证:在①中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).∴f(x)为偶函数.先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性,任取x1,x2,设x2>x1>0,∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴由(1)知,f(x)在(-∞,0)上是减函数.∵偶函数图象关于y轴对称,(2)解:在①中令y= ,得:x1∴由③知f()>0.x2x1∵>1,x2x1f(1)=f(x)+f()f()=-f(x),x1x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().x2x1x11(3)解:∵f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2, 由①、②得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若x(x-3)>0,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴由f[x(x-3)]≤f(4)得:2)若x(x-3)<0,∵f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴由f[x(x-3)]≤f(-4)得:x(x-3)>0x(x-3)≤4x<0或x>3-1≤x≤4-1≤x<0或30,∴f(x2-x1)>1.∴f(x2-x1)-1>0.∴f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数. (2)解:∵f(4)=5,令a=b=2得:f(4)=f(2)+f(2)-1,从而f(2)=3.∴原不等式等价于f(3m2-m-2)0时,有f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有:8.已知函数f(x)=-log2,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.1x1-x1+x解:要使函数有意义必须: x0,1-x1+x>0.解得:-10.1x21-x11+x11-x21+x2又对任意的x1,x2∈(0,1)且x10,且有:1x11x21+x2>1+x1>0;1-x1>1-x2>0,1-x11+x11-x21+x2∴->0.∴log2-log2>0.1-x11+x11-x21+x2即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在(0,1)内单调递减.由于f(x)是奇函数, 故函数f(x)在(-1,0)内也单调递减.
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