北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题

北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）2．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是(A．1：16B．1：6C．1：4)D．1：23．如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：13x，y2x14．抛物线y在同一直角坐标系内，则它们（）22A．都关于y轴对称C．都经过原点B．开口方向相同D．互相可以通过平移得到5．如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到′，则点′的坐标是（AO）OA．（4，﹣1）B．（﹣1，4）C．（4，2）D．（2，﹣4）6．“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表达是：“如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，求直径的长”.依题意，CD长为（）252A．寸B．13寸C．25寸D．26寸7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：xy……001233……3﹣1m①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③8．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上二、填空题29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanA＝，则AC＝_____．3x4x3y______.10．如果，那么y11．如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm．OABC45O,则的半12．如图，在R_____．径中，弦AC22，点是圆上一点，且B13．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．14．已知二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），2由图象可知关于x的方程ax+bx+c＝0的两个根分别是x＝1.3和x＝_____．21215．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A’B’C’是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝'，如果点（2，3），那么点'的坐标为_____．OBBBAA16．如图，已知点是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形的顶点EEFGH3,BC4G、H都在边，则tanAFE______．上，若ABAD三、解答题17．计算:6tan230360sincossin4530.18．已知:如图，在中，CDAB，垂足为D,若60,BC27，AD2.AABC求AB的长.19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点恰好落在D边上的点处，求cos∠的值．EFCBCF20．如图，在等边中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点按CABC//BC.顺时针方向旋转60后得到CE，连接.求证:AEAE21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，＝8，＝2．BDAE（1）求⊙的半径；O（2）求的长度．OF22．体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D与看台底端连线和地面垂直，测得看台A的长为14米，BAC30,ACD45.AC(1)求看台高的长;BC(2)求顶棚顶端D到地面的距离的长.(取31.7)AD23．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）000.511.52……h（m）8.751518.7520（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点，在上取一点，使＝，连接，交⊙于点．DAD请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD（2）如果AB＝5，sin∠EBDEAEABBEOF；5＝．求的长．BD5xxx..xx025．小明利用函数与不等式的关系，对形如x(n为正整数)12n的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:202，观察函数yx的图象可以得到如下表格:①对于不等式xx2x2的范围xy的符号由表格可知不等式的解集为2.x20xx2x12x10②对于不等式，观察函数的图象可得到如下表格:yx1的范围2xxxy的符号由表格可知不等式的解集为.x2x10③对于不等式,请根据已描出的点画出函数x2x1x20yx2x1x2的图象;x2x1x2观察函数的图象,y补全下面的表格:x22xxy的符号由表格可知不等式的解集为.x2x1x20小明将上述探究过程总结如下:对于解形如(为正整数)nxxxx..xx012n，x,，x的不等式，先将x按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列x12n表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法，解决下列问题:6x4x2x20①不等式x的解集为.5x3x402②不等式x的解集为.26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且2顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M．1①抛物线M的顶点B的坐标为；11②当抛物线M与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．127．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点为直线P，BDCE的交点．（1）如图，将△ADE绕点旋转，当在线段上时，连接BE，下列给出两个结论：ADCE①BD＝CD+AD；②BE＝2（AD+AB）．其中正确的是，并给出证明．2222（2）若＝4，＝2，把△绕点旋转，AABADADE①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②旋转过程中线段PB长的最大值是．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点关于点的对称点在⊙的内部，则称点是⊙的外称点．PNQCPC（1）当⊙的半径为1时，O①在点D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外称点是；22,22②若点M（m，n）为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G，求m的取值范围；（2）直线＝﹣+过点（1，1），与轴交于点．⊙的圆心为（，0），半径为yxbAxBTTt1．若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．参考答案1．D【解析】【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据中心对称图形的定义解答即可．【详解】A．是中心对称图形，不符合题意；B．是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，不符合题意；D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2．D【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3．A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：由平行四边形的性质可知：∥，ABCD∴△BEF∽△DCF，∵点是的中点，ABEBEBE1∴∴ABCD2EFBE1，CFCD2故选．A【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．4．A【分析】0从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x，对y称轴为轴,a的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论．【详解】b0A．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x，对称轴为2ayy轴，都关于轴对称,该选项正确；．前一个a0，开口向上，后一个a0，开口向下，该选项错误；B0，0，0，1，该选项错误；C．前一个经过原点，后一个经过点．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.D故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．5．C【分析】根据题意画出图形即可解决问题．【详解】观察图象可知O′的坐标为（4，2）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质-旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．6．D【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．【详解】连接OA．设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA=x，OE=x-1，∵OA=OE+AE，222则x=（x-1）+25，22解得：x=13．则CD=2×13=26．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．7．C【解析】【分析】由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．【详解】由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1，①抛物线的开口向上，故错误；②抛物线的对称轴是x=1，故错误；③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确；④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，正确的有③④，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．8．D【详解】试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，PEM＝PONPE＝PO，EPM＝OPN∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D．9．6．【分析】BC根据锐角三角函数定义得出tanA＝，代入求出即可．AC【详解】如图：2BC∵BC＝4，tanA＝＝，3AC∴AC＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．310．4【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案．【详解】4x3y∵，x3∴，y43故答案为：．4【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用．11．1.2【分析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可．【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm，∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，CDODCD3ABOB∴，即，25∴CD=1.2，即对应位置的E的高CD为1.2cm．故答案为1.2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．12．2【分析】通过ABC45，可得到AOC90【详解】，根据半径相等结合勾股定理可求得答案.ABC45AOC90∵，，∴OCR∵OA22R22∴R2解得：R2(负值已舍)故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，理解和熟记“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键.13．（-1，-2）【解析】分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=3110，22所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2），点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．3.314．【解析】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）详解：∵二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）2bb=-1则-=-2a∴-2a∵xx是一元二次方程ax+bx+c=0的两根212b∴x+x=-12a又∵x=1.31∴x+x=1.3+x=-2122解得x=-3.3．2点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．15．（4，6）．【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据位似变换的性质解答即可．【详解】∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，∴AB∥A′B′，ABOB1＝，∴＝2OBAB∴△ABC和△A′B′C′的相似比为1：2，∵点A（2，3），∴点A'的坐标为（4，6），故答案为：（4，6）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．316．7【分析】根据题意得知EFAD，EHCD，由平行线的性质得到AEH~ACD，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】∵EHCD，AEH~ACD，EHCD3∴，AHAD43a，AH4a则设EH∴HG，，GFEH3a∵EFAD，FAG∴∠AFE∠，GF3a3tanAFEtanFAG∴.AG4a3a73故答案为：【点睛】7本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值是解题的关键.1217．24【分析】利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可.【详解】6tan2303sin60cos45sin3033216()23322213632421224【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键.18．6.【分析】⊿ACD在Rt2Rt⊿CBD的长，又在中中，根据60角的正切函数及AD，可求得CD根据勾股定理可求得BD的长，从而求得答案.【详解】ADC9060,AD2，在RtACD中，，ACDCDDAtan603，∴2∴CD23，在RtCBD中，BDC90，BC27，CD23，22∴BDBCCD2723422BDAD426∴AB【点睛】本题考查了锐角三角函数概念及勾股定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.319．．5【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x+1＝（3﹣x），解方程得到x的值，222进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝5AB2232＝4，AF2∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE+FC＝EF，2224∴x+1＝（3﹣x），解得x＝，22235∴EF＝3﹣x＝，33＝．CF∴cos∠EFC＝EF5【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．20．见解析【分析】根据等边三角形的性质得出ACBC，BACB60，根据旋转的性质得出CDCE，DCE60，根据SAS推出BCDACE，根据全等得出BEAC60，根据平行线的判定定理即可证得答案.【详解】BC，BACB60，等边中，∴ACABC∵线段CD绕点按顺时针方向旋转60后得到CE，C∴CDCE，DCE60，∴即∴DCEACB，1223,，13，在BCD与ACE中，BCAC13CDCEACE∴BCD(SAS)∴BEAC60，EACACB∴//BC∴AE【点睛】本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.21．（1）5；（2）5．【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BF，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，∵OA⊥BD，1∴BE＝ED＝BD＝4，2在Rt△OEB中，OB＝OE+BE，即x＝（x﹣2）+4，222222解得，x＝5，即⊙O的半径为5；（2）在Rt△CEB中，BC＝CE2BE2＝8242＝45，∵OF⊥BC，15∴BF＝BC＝2，25．∴OF＝＝BF2OB2【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．7米;（2）8.8米.22．（1）BC【分析】(1)利用30角正弦函数易求得答案；AC(2)过点D作DE于点，证得⊿CDE为等腰直角三角形，在RtDEA中，设ECEDEx，利用60角的正切函数构建方程即可求得答案.【详解】（1）∵BAC30,14，ACBCBC1∴sin30，AC142∴BC7，答：看台高的长是7米；BCAC(2)过点D作DE于点，如图：EACD4545，∴CDE，∵DE∴CE设CE，DExAE14x，，则BAC30,AB∠60，，∴DAC∵DA在RtDEA中，DEA90，DExtan603AE14x8.8解得：x答：顶棚顶端D到地面的距离的长约是8.8米.AD【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟记特殊角的三角函数值及方程思想是解题的关键.23．（1）h＝﹣5t+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到222m．【解析】【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，2h＝15；t＝2时，＝20可得关于、的方程组，再解即可得到、的值，进而可得函数解habab析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵＝0时，＝0，th∴设与之间的函数关系式为＝+（≠0），hat2btaht∵＝1时，＝15；＝2时，＝20，ththab154a2b20，∴{a5解得{b20，∴与之间的函数关系式为＝﹣5+20；htht2t（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×3+20×3＝15（m）．2答：小球飞行3时的高度为15米；s（3）∵h＝﹣5t+20t＝﹣5（t﹣2）+20，22∴小球飞行的最大高度为20，m∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22．m【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．2024．（1）详见解析；（2）．3【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；55（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE5，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝EHDH5(25)2＝2BF＝2＝4，由22EH∥AB，推出，由此即可求出DH解决问题；ABDB【详解】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，5∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，55∴BF＝∴BE＝2BF＝2在Rt△BEH中，EH＝BEsin∠EBH＝2，，5，∴BH＝(25)2＝4，22∵EH∥AB，EHDHABDB∴∴，2DH，5DH48∴DH＝，3203∴BD＝BH+HD＝．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．1；③画出函数图象见解析；补全下面的表格见解析；x2,2x1；25．（1）②2或xxx6,2x4,x2x5,x4,4x3．（2）①；②【分析】（1）②由表格直接写出答案；③依次连接画出图象，由表格直接写出答案；（2）①求出对应方程(x6)(x4)(x2)(x2)0的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；②求出对应方程(x5)(x3)(x4)20的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；【详解】（1）②不等式(x2)(x1)0的解集为2或x1．x③函数图象如图：补全下面的表格：x22xy的符号由表格可知不等式(x2)(x1)(x2)0的解集为x2,21．x（2）①画出如下表格：4x6x24xy的符号∴不等式(x6)(x4)(x2)(x2)0的解集为6,24,2；xxx②画出如下表格：xy的符号不等式(x5)(x3)(x4)20的解集为x5,x4,4x3．【点睛】本题考查了函数、方程与不等式之间的关系，解决此类问题关键是仔细阅读题目理清思路，做到数形结合．226．(1)y=-x+1;(2)①(2t,-1);②00),21当抛物线M经过点A(-1,0)时(如下图)：1∴(-1-2t)-1=0,解得t=-1,t=0；212当抛物线M经过点B(0,1)时(如上图)：12∴(0-2t)-1=1,解得t=.222结合图象分析，因为t>0，所以当抛物线M与线段AB有公共点时，t的取值范围是0