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第一章电磁现象的普遍规律根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BTOC\o"1-5"\h\zA(A)12A2(A)A设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：f(u)dfu，A(u)udAdududAA(u)udu证明：4.应用高斯定理证明dVfdSf，应用斯托克斯(Stokes)定理证明dSdl设r(xx')2(yy')2(zz')2为源点x'到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。(1)证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r'rr/r；(1/r)'(1/r)r/r3；(r/r3)0；(r/r3)'(r/r3)0，(r0)。(2)求r，r，(a)r，(ar)，[E0sin(kr)]及[E0sin(kr)]，其中a、k及E0均为常向量。5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)(x',t)x'dV'，利用电荷守恒定律J0证明p的变化率为：tdpdtVJ(x',t)dV36.若m是常向量，证明除R0点以外，向量A(mR)/R3的旋度等于标量mR/R3的梯度的负值，即A，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度荷密度f的（10/）倍。p总是等于体自由电内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。电动力学习题解答10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为1和2，今在两板接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度f1和f2；（2）介质分界面上的自由电荷面密度f3。（若介质是漏电的，电导率分别为1和2当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？）13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体
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面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足tan22tan11其中1和2分别为两种介质的介电常数，1和2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足tan22tan11其中1和2分别为两种介质的电导率。电动力学习题解答14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f，板间填充电导率为的非磁性物质。（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求f随时间的衰减规律。（3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。第二章静电场2一个半径为R的电介质球，极化强度为PKr/r2，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。电动力学习题解答在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q4.均匀介质球（电容率为1）的中心置一自由电偶极子pf，球外充满了另一种介质（电容率为2），求空间各点的电势和极化电荷分布。均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。7.电动力学习题解答空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p球壳上带电Q，求空间各点的电势和电荷分布。在一很大的电解槽中充满电导率为2的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为1的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论12及21两种情况的电流分布的特点。在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷f的绝缘介质球（电容率为），求空间各点的电势。电动力学习题解答8.半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a处(a>R0)置一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。9.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处(a
a)，试用电象法求空间电势。Q(x0,a,b)yQ(x0,a,b)zQa(x0,a,b)bQ(x0,a,b)充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在(x0,y0,z0)和(x0,y0,z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)设有两平面围成的直角形无穷容器，其内电动力学习题解答画出函数d(x)/dx的图，说明(p)(x)是一个位于原点的偶极子的电荷密度。证明：(1)(ax)(x)/a(a0)，(若a0，结果如何？)2)x(x)0式，极化介质所产生的静电势为P(x')rV40r3dV'，另外一块极化介质的极化矢量为P(x')，根据偶极子静电势的公根据极化电荷公式p'P(x')及pnP，极化介质所产生的电势又可表为'P(x')P(x')dS'P(x)dV'P(x)dS，试证明以上两表达V40rS40r式是等同的。证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。(1)在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。(2)在面偶极层两侧，电势有跃变21nP/0，而电势的法向微商是连续的。(各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度Pliml)l018.一个半径为R0的球面，在球坐标0/2的半球面上电势为0在/2的半球面上电势为0，求空间各点电势。提示：10Pn(x)dxPn1(x)Pn1(x)2n11，Pn(1)1，0第三章静磁场1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0，写出A的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。Pn(0)0,(n奇数)(1)n/2123546(nn1),(n偶数)2.均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B。电动力学习题解答3.设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z<0空间充满磁导率为的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。5.某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知BzB0C(z22/2)，其中B0为常量。试求该处的B。提示：用B0，并验证所得结果满足H0。4.设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。电动力学习题解答两个半径为a的同轴圆形线圈，位于zL面上。每个线圈TOC\o"1-5"\h\z上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。HYPERLINK\l"bookmark66"\o"CurrentDocument"提示：用条件2Bz/z20半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A的微分方程。设导体的磁导率为0，导体外的磁导率为。电动力学习题解答8.假设存在磁单极子，其磁荷为Qm，它的磁场强度为HQmr/40r3。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。9.将一磁导率为，半径为R0的球体，放入均匀磁场H0内，求总磁感应强度B和诱导磁矩m。（对比P49静电场的例子。）10.有一个内外半径为R1和R2的空心球，位于均匀外磁场H0内，球的磁导率为，求空腔内的场B，讨论0时的磁屏蔽作用。电动力学习题解答11.设理想铁磁体的磁化规律为BH0M0，其中M0是恒定的与H无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（M0为常值）浸入磁导率为'的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。有一个均匀带电的薄导体壳其半径为R0，总电荷为Q，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场B。提示：本题通过解A或m的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。12.将上题的永磁球置入均匀外磁场H0中，结果如何？1.电动力学习题解答TOC\o"1-5"\h\z电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q，半径为R0，它以角速度绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M0是均匀分布的）。第四章电磁波的传播考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和d的线偏振平面波，它们都沿z轴方向传播。（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。有一块磁矩为m的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力F。电动力学习题解答一平面电磁波以45°从真空入射到r2的介质，电场强4.频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若E,D,B,H度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。仍按ei（kxt）变化，但D不再与E平行（即DE不成立）。（1）证明kBkDBDBE0，但一般kE0。（2）证明D[k2E（kE）k]/2。（3）证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为06.28105cm，水的折射率为n=1.33。电动力学习题解答5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个沿y方向偏振，但相位比前者超前2，求合成拨的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？8.平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为1。求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属，结果如何？提示：导电介质中的波矢量kβiα，α只有z分量。（为什么？）平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。已知海水的r1，1S·m-1，试计算频率为50，106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。电动力学习题解答9.无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在z到z=0这段管内可能存在的波10.电磁波E(x,y,z,t)E(x,y)ei(kzzt)在波导管中沿z方向传播，试使用Ei0H及Hi0E证明电磁场所有分量都可用Ex(x,y)及Hz(x,y)这两个分量表示。模。11.写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件。电动力学习题解答论证矩形波导管内不存在TMm0或TM0n波。一对无限大的平行理想导体板，相距为b，电磁波沿平行于板面的z方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。9频率为3010Hz的微波，在0.7cm0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播？在0.7cm0.6cm的矩形波导管中能以什么波模传播？15.证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等。
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