曲线和方程两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是这就是说：如果点M(x0，y0)是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标(x0，y0)就是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0，y0)是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。这样，我们就说x-y=0是这条直线的方程，这条直线叫做方程x-y=0的直线。试一试说明圆心为P(a，b)，半径等于r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等于r所以也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2即(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解(2)设(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得即点M(x0，y0)到点P的距离等于r，所以点M是这个圆上的点．由(1)(2)可知，(x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a，b)，半径等于r的圆的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。说明：（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）.由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)=0.问题研讨例1判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1对错错例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是并判断是否在圆上0xy55··变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.M条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)=0的曲线”，则甲是乙的()(A)充分非必要条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)非充分也非必要条件B若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是()(A)方程f(x，y)=0所
表
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示的曲线是C (B)坐标满足f(x，y)=0的点都在曲线C上(C)方程f(x，y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C (D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部D例2设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。ABlM(x,y)求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p(M)};（3）用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。函数y=ax2的图象是关于y轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成的.这就是说：如果点M(x0，y0)是抛物线上的点任意一点，那么(x0，y0)一定是这个方程的解；反过来，如果(x0，y0)是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程，这条抛物线叫做方程y=ax2的抛物线。
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