向量组地线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关线性组合设ai,a2,,atRn,ki’k?,,ktR，称人印k?a2为ai’a?,,at的一个线性组合。k1k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，k1a1k2a2ktat(a1,a2,,at)2。这1122tt12tMkt样的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示是有好处的。线性表示设ai,a2,,atRn,bRn，如果存在匕出，KR，使得bk1a1k2a2ktat则称b可由ai,a2,,at线性表示。k1k2bk£ik?a2K4,写成矩阵形式，即b(a1,a2,,at)。因此，b可12tMktk1k2由ai,a2,,at线性表示即线性方程组(q’a?,,q)b有解，而该方程组有解12tMkt当且仅当r(a1,a2,,at)r(a1,a2,,at,b)。向量组等价设ai,a2,,at,b,b2,,bsRn，如果ai,a2,,4中每一个向量都可以由bi,b>,,bs线性表示，则称向量组ai,a2,且可以由向量组bjb?,,b$线性表示。如果向量组ai,a2,,at和向量组d,b2,,bs可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质：自反性任何一个向量组都与自身等价。对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：,bs，向量组III为Ci,C2,,cto1,2,,s。向量组I可由向量自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为a1,a2,,ar，向量组II为b1,b2,t向量组II可由III线性表示，假设bjykjck，k1s组II线性表示，假设aiXjD,i1,2,,r。因此,j1sstaiXjibjXjiykjckj1j1k1ts(ykjXji)ck,k1j11,2,,r因此,向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III可由I线性表示。因此,向量组I与III等价。结论成立！线性相关与线性无关设ai,a2,,atRn，如果存在不全为零的数k^k?,,ktR，使得k1a1k2a2ktat0则称ai,a?,,at线性相关，否则，称ai,a?,,印线性无关。按照线性表示的矩阵记法，ai,a?,,at线性相关即齐次线性方程组k1k2(ai,a2,,at)M0kt有非零解，当且仅当r(a1,a2,,at)t°a1,a2,k,at线性无关，即1k2(ai,a2,,at)M0kt只有零解，当且仅当r(a1,a2,,at)t°特别的，若tn，则玄勺总，,anRn线性无关当且仅当r(ai,a2,,an)n,当且仅当(ai,a2,,an)可逆，当且仅当佝，&2,,an)0°例1.单独一个向量aRn线性相关即a0，线性无关即a0°因为，若a线性相关，则存在数k0，使得ka0，于是a0。而若a0，由于1aa0，10因此，a线性相关。例2.两个向量a,bRn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1ak2b0°k1,k2不全为零，不妨假设k10，则ak2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在，使得ab，则ab0，于是a,b线性相关。100x1例3.0,1,0线性无关，且任意xx2R3都可以由其线性表示，且表示001X3方法唯一。事实上,X1100xX2为0x21X30X3001线性相关与无关的性质若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设ai,a2,,atRn，其中有一个为零，不妨假设at0,则0a10a20at1100因此，ai,a2,,at线性相关。若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2,,at,i,2,,nsR，ai,a2,,at线性相关。存在不全为零的数ki,k2,,kt，使得kiaik2a2ktat0这样，kiaik2a2ktat0i020s0ki,k2,,kt不全为零，因此，ai,a2,,at,i,2,,s线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2,,atRn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量,，bib,,bt是同维的列向量。令bt12tatk1a1k2a2ktat0btk1b1k2b2ktbt最后一个分量之后，成为a1,a2b1b2a1a2k11k221b12b2则匕印k?a2Ka0。由向量组a“a2,®线性相关，可以得到k1k2kt0。结论得证！向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设ai,a2,,atRn为一组向量。必要性若ai,a2,,at线性相关，则存在一组不全为零的数k^k?,,K，使得kiai丘2玄2ktat0ki,k2,,kt不全为零，设kj0，则ajkjiajikjiajiktatkj充分性若ai,a2,,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a」可以表示成ai,©勺厲仆，印的线性组合，则存在一组数灯，"，—，K，使得ajkiaikjiajikjiajiktat也就是kiaikjiajiajkjiajiktat0但ki,,kji,i,kji,,kt不全为零，因此，ai,a2,,at线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。⑸若ai,a2,,atRn线性无关，bRn，使得ai’a?,,at,b线性相关，则b可由ai,a2,,at线性表示，且表示方法唯证明:ai,a2,,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数ki,k2,,kt,kti，使得这样,bkiaik?a2ktatkti因此，b可由ai,a2,,at线性表示。假设bxiaiX2a2Xtatyiaiy2a2ytat，则(Xiyi)ai(X2y2)a2(Xtyt)at0由ai,a2,,at线性无关，有XiyiX2y2Xtyt0，即Xiyi,X2y2,,Xtytk1a1k?a2ktdktib0kti0,否则kti0,则k1a1k2a2ktat0。由ai,a2,◎线性无关，我们就得到kik2kt0,这样，ki,k2,,kt,kti均为零，与其不全为零矛盾!因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组ai,,at线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组ai,,at线性表示，即线性方程组佝，，ajxb有解。而a,,at线性无关，即r（a,,ajt。因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯一。⑹若线性无关向量组ai,a2,,at可由向量组Db,,bs线性表示，则ts。证明：假设结论不成立，于是ts。ai,a2,,at可由Db,,bs线性表示。假设XiiX2iai为山X2ib2XsibsQb,,bs）_，MXsia2x12b1x22b2xs2bs(b1,b2,x12x1tx2tatx1tb1x2tb2xstbs(b1,b2,,bs)Mxst任取佥出，，kt，则x11x12Lx1t由于x21x22Lx2t为一个sMMOMxs1xs2Lxstx11x21Mxs1t阶矩阵，而ts，因此，方程组x12Lx1tx22Lx2t2tx0MOMxs2Lxstk1x11x12Lx1tk1k2x21x22Lx2tk2k1a1k2a2ktat(a1,a2,,at)(b1,b2,,bs)MMMOMMktxs1xs2Lxstktk1ktat0。因此，存在一组不全为必有非零解，设为kM2，于是k1a1k2a2kt零的数ki,k2,,kt，使得k^ik?a2人印0。因此，向量组a^a?,,可线性相关，这与向量组a1,a2,,at线性无关矛盾！因此，ts。⑺若两线性无关向量组ai,a2,,at和dd,b可以相互线性表示，则ts证明：由性质(6)，ts，st，因此，st【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设ai,a2,,atRn,P为n阶可逆矩阵，则^^2,耳线性无关当且仅当Pai,Pa2,,Pat线性无关。b可由印总，g线性表示，当且仅当Pb可由Pai,Pa2,,Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明：由于P可逆，因此kiaik2a2ktat0P(kiaik2a2ktat)0ki(Pai)k2(Pa2)kt(Pat)0kiaik2a2ktatbP(kiaik2a2ktat)bki(Pai)k2(Pa2)kt(Pat)Pb如此，结论得证！极大线性无关组定义1设ai,a2,,atRn，如果存在部分向量组ah,ai2,，使得(1)內佝2，,air线性无关；⑵ai,a2,,at中每一个向量都可以由寺，軌，线性表示；则称a」a2,,%为ai,a2,,at的极大线性无关组。【备注5】设ai,a2,,atRn，弘^?,为其极大线性无关组。按照定义，ai,a2,,at可由寺，軌，耳线性表示。但另一方面，玄^軌，，弘也显然可以由ai,a2,,at线性表示。因此，ai,a2,,a(与ah,ai2,,air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组a1,a2,,at线性无关，充分必要条件即其秩为t。定义2设ai,a2,,atRn，如果其中有r个线性无关的向量可七2,耳，但没有更多的线性无关向量，则称ah,ai2,,air为印^?,,at的极大线性无关组，而r为ai,a2,,at的秩。【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果ah,ai2，,air线性无关，且ai,a2,,at中每一个向量都可以由和兀，，％线性表示，那么，务总，，目就没有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为bi,b2,,bs，sr。bi,b2,,bs当然可以由ah,ai2，,air线性表示，且还线性无关，按照性质(6)，sr，这与假设矛盾！另一方面，假设可©2，为ai,a2,®中r个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取ai,a2,,at中一个向量，记为b，则刖，軌，，a「b线性相关。按照性质(5)，b可有ah,ai2,线性表示(且表示方法唯一)。【备注9】设向量组a1,a2,,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是ai,a2,,at的一个极大线性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩证明：设A(aj)Rmn,r(A)r。将其按列分块为A佝总，q)。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为10L0b1,r+1Lb1,n1L0b2,r1Lb2,nOMMLMPA(Pa1,Pa2,,Pan)1br,r1Lbr,n00L00L0LLLLLLL00L00L0TOC\o"1-5"\h\z100010MMM0,0,,1线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,000MMM000100010MMM0,0,,1为PA的极大线性无关组,000MMM000其个数为r，因此，a1,a2,,ar线性无关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩等于A的秩b1T将A按行分块，AM，则At(Db,4),因此，按照前面的结论，AbTm的行秩为A的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。扩充定理定理2设ai,a2,,atRn，秩为r，a」％,,弘为其中的k个线性无关的向量，kr，则能在其中加入ai,a2,,可中的(rk)个向量，使新向量组为印,玄2,且的极大线性无关组。证明：如果kr，则玄^軌，，aik已经是印,玄2,且的一个极大线性无关组，无须再添加向量。如果kr，则ah,ai2，赳不是印旦，®的一个极大线性无关组，于是，ai,a2,,at必有元素不能由其线性表示，设为a：ki，由性质⑸，向量组ah,ai2,,aik,aikl线性无关。如果k1r，则ah,ai2,已经是印旦，，印的一个极大线性无关组，无须再添加向量。如果k1r，则a»,軌，，ak,aik1不是ai,a?,,內的一个极大线性无关组，于是，ai,a2,,at必有元素不能由其线性表示，设为號？，由性质⑸，向量组aii,ai2,,aik,aiki,aik2线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注ii】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a1,a2,atRn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现⑴将ai,a2,at合在一起写成一个矩阵A佝忌，aj;(2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为b11b12Lb1rb1,r1Lb1,n0b22Lb2rb2,r1Lb2,nMLOMMLMA00Lbrrbr,r1Lbr,nB，bii0,i1,2,,r，rr(A)00L00L0MLLMMLM00L00L0⑶在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为ji,j2,,jr列，则jl,j2,,jr为B列向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组，也就是ai,a2,at的极大线性无关组。为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。显而易见，上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。(4)将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A中，第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B中的一致。1001MLA0000ML00L0b1,r1L0b2,r1OMML1br,r1L00LMML00Lb1,nLb2,nLMLbr,nBL0LML0我们的理论依据是性质（8）。211121例4.设矩阵A1214，求A的列向量组的一个极大线性无关组,4622436979并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。【解答】记A（印包忌忌旦），211121121411214r22r11214r1r221112r34儿03316A4622446224场3口0101061236979369790334321012「113r231010410A3「33r201112rs(8）011033r4r2r4:3r300013「2(3)8000380000000039因此，A的列向量的一个极大线性无关组为ai,a2,a4，a3aia?，a44印3a23a3