中考数学与中点有关的问题试题(24题)

中考数学与中点有关的问题试题(24题)（二讲）与中点有关的几何题（2014年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF.则DE，DF的数量关系为.【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF.求证：DE=DF；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.海淀2-海淀25.在矩形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上（点E、C不重合）.（1）如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;（2）如图2，且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明;若不成立,请MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714169302483_0理由;（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.丰台1-24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．海淀1-24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.MBDCFEANPPNAEFCDB图1图213、（2014燕山一模）24.如图1，已知是等腰直角三角形，,点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．（1）试猜想线段和的数量关系是；（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若，当取最大值时，求的值．1、（2014年门头沟二模）24.在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED的形状．（2014年昌平二模）24．【探究】DE=DF.…………………………………………………………………………………1分【拓展】如图2，连接CD.∵在△ABC中，CB=CA，∴∠CAB=∠CBA.∵∠MBC=∠MAC,∴∠MAB=∠MBA.……………………………2分∴AM=BM.∵点D是边AB的中点，∴点M在CD上.………………………………………3分∴CM平分∠FCE.∴∠FCD=∠ECD.∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，∴MF=ME.又∵CM=CM,∴△CMF≌△CME.∴CF=CE.∵CD=CD，∴△CFD≌△CED.∴DE=DF.………………………………………4分【推广】DE=DF.如图3，作AM的中点G,BM的中点H.∵点D是边AB的中点，∴同理可得：∵ME⊥BC于E，H是BM的中点，∴在Rt△BEM中，∴DG=HE.……………………………………………………5分同理可得：∵DG//BM,DH//GM,∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC,又∵∠MBC=∠MAC,∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.……………………………………6分∴△DHE≌△FGD.∴DE=DF.……………………………………………………7分（海淀二模）25.解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=.证明：如图，过点E作EG⊥AF于G,则∠EGN=90°．∵矩形ABCD中,AB=BC，∴矩形ABCD为正方形.∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=∠DCB=90°．∴EG//CD,∠EGN=∠A,∠CDF=90°．………………………………1分∵E为CF的中点，EG//CD,∴GF=DG=∴∵N为MD(AD)的中点，∴AN=ND=∴GE=AN,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB.……………………………2分∴△NGE≌△BAN．∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∴∠BNE=90°.∴BN⊥NE．……………………………………………………………3分∵∠CDF=90°,CD=DF,可得∠F=∠FCD=45°，.于是……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．……………………………………………5分∵EH⊥CE，∴∠CEH=90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF=45°．∴∠CHE=∠HCE=45°．∴EC=EH,∠EHG=135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，∴∠ECB=∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE.……………………………………………6分∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，∴=.……………………………………………7分（3）BN⊥NE；不一定等于.…………………………………………8分9（2012丰台一模）24.解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．（海淀一模）解:（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180(或其它变式及文字叙述,各1分).………2分（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).M1324PNAEFCDB证明：如图,分别连接BE、CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.①………………………3分∵∠EDF=∠ABD,∴∠EDF=∠BDC.∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.即∠BDE=∠CDF.②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF.…………………………………………4分∴EB=FC,∠1=∠2.∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB,NP=.同理可得MN∥FC，MN=.∴NP=NM.…………………………………………………5分∵NP∥EB,∴∠NPC=∠4.∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵MN∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.∴∠ABD+∠MNP=180.……………………………………7分（2014燕山一模）解析：24.解：（1）；…………………2分（2）①成立．以下给出证明：如图，连接，∵在Rt中，为斜边中点，∴，，∴．…………………3分∵四边形为正方形，∴，且，∴，∴．……4分在和中，∴≌，∴．……………………5分②由①可得，当取得最大值时，取得最大值．当旋转角为时，，最大值为.………6分如图,此时．……………………7分（2014年门头沟二模）24.（1）MD=ME……………1分（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．∴，，MF//AC，MG//AB．∴∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．∴∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．……………2分∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，∴，．∴MF＝EG，DF＝NG．……………3分∴△DFM≌△MGE．∴DM＝ME．……………4分∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME∵EG⊥AC∴∠EGC=900∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=1800∴∠DME=900……………5分（3）作图正确得一分……………6分△MDE是等腰直角三角形．……………7分