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函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数连续可导可微偏导数连续问题进一步的
证明
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??????y,xyxf1,处连续。在点00??????y,xyx2,f处的两个偏导数连续。在点00??????y,xy3xf,在点处可微。00??????y,xy4xf,在点处的两个偏导数存在。00成立的我证明，不成立的只需举反例。1???22220??ysinyx?x???????21?22?,fyxyx?不成立，反例：??220yx?0??xy?22?0?yx??????????????xf,y2312?122是可微的必要条件，推不出而不成立，反例：，yx???220?xy0??1???2222?sin0?xyx?y???????3122?xf,yy?x所以不成立。中也有满足但是注意：成立的例子：??220x??0y?1???2222?yx0x?ysin??????????00?,4122?x,yfyx?连续可微，不成立，反例：，虽然此式在??2200??yx???0,0不存在。但是偏导数在??????????1232??1?！成立！！?证明：先证明可微，然后由可微证明连续。具体分过程见下????3?2成立！！！????'y?y?x,P?x?PyxP,，考察函数连续，对于点的某个邻域内的任意一点证明：假定偏导数在点的全增量：????????????????y?f,f?x,y?y??y?f,xyy?f?x?x,??y?fx,y?yx??,?fz??x?xy应用拉??????????x???yyx?f?yf?yx?fx?,?y?x,?y?x?,1??0又依假格朗日中值定理，得到1x11???????????yxf,xx?x,yx,y??y??ff?x??x,y?y??fy,x，在点连续，所以上式改写为：设，x1x??yx,??0?y??x?0,0?。同理可证第二个方括号内的表达式可写的函数，且当时，其中为11?????????y?yx,y??f?xf,x,y??y?fyy?0y??0?。由为：时，为的函数，且当其中2y12z?：为量表示可以连续的假定下，全增以上两式可见，在偏导数???yx??????????21yx,y??x?f?x,yx?y???z?f??，他随易看着出，容2yx121??????????0?yxP,yx?x,?yf?,0,0z?是可微的。而趋向于0，这就证明了在点即????42?成立！！！不用证明。????13?成立！！！?????????yx,P?fyx,y?a?x?a??z?0得。微时在，令：成立处可：证明当00021????yf,?,y?yxlimf?x??x，所以连续。00000??x?y?01???2222?0?ysin?yxx???????????y,xf02?0,322?x,fyy?x及不成立，反例：在处可微，但?x?220?y?0x?????0f,00,0处间断在点y????4?3成立！！！????Py,Pxyxf,z?的某个邻域内的，对于在点点任意一点可微：证明设函数分，于是????'???yxx??,yP???y?A?x?B??z0y????x，所以，。特别当上式成为：，???????x?Ay??f?x?x,y?fx??x,?x?x?0而取极以限，，再令就得：除等式两边各????z?yx?f,x??x,yfz??AlimAB。得证存在，且等于存在，且为，同理可证，从而偏导数y?x?x?0??xxy?22?0xy????????1?422?,z?fyxyx?如果一元函数在某点具有导数则在该点不成立，反例：??220?y0x????y,xP沿平行于坐标轴的方向趋向于必定连续但是对于多元函数来说，即使各偏导数存在只能保证点??????yP,xyf,xyfx,，所以不一定连续。都趋向于时，函数值000002xy?22?0?yx????????????yxf,3?244?22不成立同属一个类型。，这和不成立，反例：y?x??220x0?y??xy?220yx??????????yf,x34?22很容易知道差了个偏导数连续的条件。不成立，反例：y?x??220x?0?y?3
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