初等数学研究福建师大数学、计算机学院潘飚第三章方程第一节方程的定义方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于①它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；②陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；③方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。一、方程的定义：形如的等式叫做方程，其中是两个解析式，且至少有一个不是常函数。定义域的交集称为方程的定义域。????1212,,,,,,nnfxxxgxxx?????1212,,,,,,,nnfxxxgxxx????1212,,,,,,,nnfxxxgxxx二、方程的分类????????????????????????????????????????????????指数方程对数方程超越方程三角方程反三角方程一次方程方程整式方程二次方程有理方程高次方程代数方程分式方程无理方程第二节、一元方程的同解性?定义1如果方程⑴的任何一个解都是方程⑵的解，并且方程⑵的任何一个解也都是方程⑴的解，那么方程⑴和⑵称为同解方程。?两个无解方程认为是同解方程。????11fxgx?????22fxgx?定理1如果函数)(xA对于方程)()(xgxf?的定义域M中的数都有意义，那么方程⑴)()(xgxf?与方程⑵)()()()(xAxgxAxf???同解。定理2如果函数)(xA对于方程)()(xgxf?的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程⑴)()(xgxf?与方程⑵)()()()(xgxAxfxA?同解。1、同加同乘变形23323434xxxxxx????????与定理3如果??)()()(21xfxfxfxFk??，那么方程??0?xF的解集等于下列各个方程：0)(,,0)(,0)(21???xfxfxfk?的解集的并集与??0?xF的定义域的交集。2、分解变形(1)(2)log0xxx???定理4如果)()(),()(2121xgxgxfxf??，方程⑴)()(11xgxf?与方程⑵)()(22xgxf?的定义域都是数集M，那么方程⑴与方程⑵同解。3、恒等变形例解方程2log1x?第三节、几种常见方程的变形在解方程时，除了利用同解变形外，有时还要作以下几种变形：⒈方程)()(xgxfnn?是方程)()(xgxf?的结果；正整数n是对函数)(),(xgxf施行乘方运算的指数。可能产生增根，如445312???xx。⒉方程)()(xgxf?是方程nnxgxf)()(?的结果，不小于2的整数n是对函数)(),(xgxf施行开方运算的根指数（n为偶数时，0)(,0)(??xgxf）。3．在方程)()()()(2211xgxfxgxf?定义域M上，方程112112()()()()()()fxfxfxgxgxgx???，11221122()()()()()()()()fxgxfxgxfxgxfxgx?????的解都是方程)()()()(2211xgxfxgxf?的解。例1312222???????xxxxxx4．方程????xgxflglg?的解都是方程????xgxf?是解。5．方程????xgxf?的解都是方程????xgxfsinsin?的解。第四节、整式方程及其解法㈠二项方程和三项方程的解法形如的方程叫做二项方程，解此方程就是求A的n次方根例3解方程0??Axn0325??x形如的方程叫做三项方程.例解方程02???qpxxnn03436???xx（二）一元三次方程?1、一元三次方程的化简03???qpyy2、方程的解法?例解三次方程0162742742723????xxx3、一元三次方程根的讨论?设?1、Δ>0,原方程一个实根，一对共轭虚根。?2、Δ=0,原方程三个实根，其中两个等根。?3、Δ<0,原方程三个互不等的实根。27432pq???（三）、一元四次方程的解法?一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。?五次及五次以上代数方程无求根
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一般五次及五次以上方程不能用根式求解.（四）倒数方程（倒根方程）?注：1、倒数方程的根不能为零。?2、倒数方程的系数满足),2,1,0(niaaiin???????或2、倒数方程的解法?定理1第一类偶次倒数方程可化为一个k次方程。)0(0)(00112120????????????????aaxaxaxaxaxfkkkk定理2第一类奇次倒数方程可化为其中是第一类偶次倒数方程.0)(?xf0)()1()(???xgxxf0)(?xg定理3第二类偶次倒数方程可化为其中是第一类偶次倒数方程.0)()1()(2???xgxxf0)(?xf0)(?xg定理4第二类奇次倒数方程可化为其中是第一类偶次倒数方程.例0)(?xf0)(?xg0)()1()(???xgxxf作业654321210131020xxxxxx???????）765432444430xxxxxx????????2）3x543234151534150xxxxx??????3）15
答案
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1、y=5/2、1、-32、y=1,-1,2/33、y=-1,-34/15第五节韦达公式、方程根的性质?一、韦达公式方程的根为则0)(111????????????????nnkknnaxaxaxaxxf),,3,2,1(nixi?????二、方程根的性质
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