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方程》教学案例
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高一数学备课组一.设计思想圆的标准方程处于数学必修2中的最后一章的第一节，是本章的核心概念,也是解析几何中的基本概念。圆的方程是在第三章直线方程结束后进行的，所以本节课从温故知新入手，以直线方程为背景，按照“温故---知新---练习---应用---小结”的顺序结构，引导学生通过联系以前的知识，数学地提出、分析、解决新知识，在应用时以生活中的实例为背景，进一步让学生理解数学是有用的。二．教学目标：1．知识与技能通过本节知识的学习，我们将通过圆的本身特性，用代数的语言描述它，用代数的工具解决它的问题。进一步体现解析几何的思想和待定系数法的应用。2．过程与方法本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特征，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，再用所学的知识解决一个实际问题。做到学以致用。3．情感、态度与价值观通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问题的探究能力，进一步培养我们学习数学的兴趣。三．重点难点重点：1.对圆的方程的理解；2.待定系数法求圆的方程。难点：待定系数法的掌握和应用。四．教学过程1、温故：前一章我们主要学习了直线的方程，它的各种形式，以及直线处于不同位置时直线方程所满足的条件。那我们首先来回忆一下，我们是怎样将直线和方程建立起联系的，一个方程满足什么条件时，我们称之为这个直线的方程？学生答：直线上的点的坐标（x,y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x,y）都在这个直线上，这时我们称这个方程为这个直线的方程。那么，我们今天的任务是学习圆的方程，你在学习圆的方程之前能否说出，什么样的方程才能称之为圆的方程吗？学生答：圆上的点的坐标（x,y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x,y）都在这个圆上。那我们就可以从这两点出发，找出圆的方程。2、知新首先第一步圆上的点的坐标都要满足这个方程，也就是说这个方程就是圆上任一点坐标都满足的式子。那我们首先要给出一个圆，我们想得到一个圆，要知道哪些条件？（圆心和半径）（1）先看一个特殊情况：已知圆心在原点，半径为2的圆，那么它上面的点的坐标都满足什么条件？任一点（x,y）到圆心的距离都等于2也就是：寸x2+y2=2或者x2+y2=4（2）再一般点，已知圆心在（a,b），半径为r的圆上的坐标满2二r这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。其次再来考虑第二个条件，满足这个方程的(x,y)是否一定在这个圆上呢？答：只要(x,y)满足这个方程，则(x,y)至U(a,b)的距离就等于r，则这个点就一定在该圆上。通过以上两点的考证，我们非常顺利地得出了圆的方程：圆心在(a,b)，半径为r的圆的方程：(x_a)2+(y_b)2=r2这种形式的圆的方程我们称之为圆的标准方程。与直线方程类似，我们接下来还要学习圆的其他形式的方程。观察这个标准方程，总结一下它的特点：有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；两个变量的系数都是1;方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。3、练习我们对于刚才的结论做一些相应的练习，加深影响：练习1:根据已知条件写出下列圆的方程：圆心坐标为(-2，1)，半径为3;圆心为(2,-1)，且过点(3，3);圆心为(3，1)，且与直线3x-4y-6=0相切。练习2:根据下列方程，指出圆的圆心位置以及半径：(x2)2(y-3)2=5(xm)2(yn)2二a2注意：这里的a，并不一定是半径，半径应该是|a|.练习3:判断下列点是否在圆(x-3)2•(y2)2=16上:(1)A(3,0)(2)B(1,1)(3)C(2,-2)再问：不在圆上的点是在圆内还是圆外？如何判定？要时刻注意圆的标准方程的形式是有其重要的几何意义的，它的左边就表示到圆心距离的平方，所以，将点的坐标代入圆的方程，如果坐标等于右边，则在圆上，若左边大于右边，则
说明
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距离原点的距离大于半径，一定是在圆外，若左边小于右边，则在圆内，即：(x-a)2，(y-b)2二r2二点(x,y)在圆上；(x-a)，(y-b)r点(x,y)在圆外；(x-a)(y-b):::r二点(x,y)在圆内。4、思考如何确定一个圆？除了刚才所说的一个圆心和半径，还有什么？几个点可以确定一个圆？三个不在同一条直线上的点可以确定一个圆。那么给出三个点的坐标：例1:已知A(5,1),B(7,-3)，C(2,8)，则写出过这三个点的圆的方程。分析：相当于求三角形ABC的外接圆的方程。要想写出方程，必须知道圆心和半径。如何求圆心和半径呢？根据外接圆的性质，圆心应该是三条边的垂直平分线的交点，所以可以根据顶点坐标求出垂直平分线的方程，在求出平分线的交点坐标即圆心坐标，在根据两点间距离公式求半径的长度。当然这样做虽然很麻烦，但毕竟我们用我们以前所学的知识找到了解决问题的办法。那么现在再想想，有没有别的出路？要求圆的方程，不如先设出它的方程来，再解出未知数。设该圆的方程为：(x-a)2•(y-b)2=r2，根据条件，三个点的坐标都满足该方程，列出式子，解出未知数：a,b,r即可。解：设该圆的方程为(x-a)2•(y-b)2二r2，则(5-a)2(1-b)2二r2(7-a)2(-3-b)2二r2222(2-a)(-8-b)二r解出：a=2,b=-3,r=5所以：圆的标准方程为：(x-2)2•(y3)2二25这种方法在数学中很常见，叫做待定系数法。就是要求什么就把未知数先设出来，然后根据条件列方程解出未知数来。总结就是三步：设、列、解。这种方法易于思考，易于列式子，难点就是解未知数时，有时会遇到困难，这就需要同学们有扎实的计算和观察能力，也需要同学们平时多多练习，数学总是熟能生巧的。再来思考一道更加复杂一些的题目：例2：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C在直线L:x-y+仁0上，求圆心为C的圆的标准方程。分析：1、利用图像的性质，圆心一定在线段AB的垂直平分线上，又已知在直线L上，所以先求出AB的垂直平分线方程，和直线L的方程联立，解出圆心坐标，在计算出半径，即可写出圆的标准方程。这叫数形结合法。2、那么利用我们刚才所学的待定系数法可以解决问题吗？设出圆的方程，已知两点坐标代入得到两个方程，又将圆心代入直线L的方程列一个方程，三个方程，三个未知数，解出即可。5、应用下面我们来看一个实际的问题，大家都知道我国著名的赵州桥，建于1500年，单圆拱石桥，全长64.4米，最大圆拱跨径37.4米，拱高7.2米。设计思想和建造
工艺
钢结构制作工艺流程车尿素生产工艺流程自动玻璃钢生产工艺2工艺纪律检查制度q345焊接工艺规程
事世界石拱桥的卓越典范，它的建造是中国古代数学、物理学、
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
学的结晶，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量。你能确定圆拱所属圆的圆心和半径吗？我们把它抽象成简单的数学模型:DB在此基础上建立坐标系，根据已知条件可以得到A,B,C,D点的坐标，则利用待定系数法便可解出未知数，求出圆心坐标以及半径。6、小结我们今天主要学习了圆的标准方程，以及如何判断点与圆的位置关系，如何根据已知条件求出圆的方程，在练习过程中我们还学习到了一种常用的数学方法：待定系数法，并通过练习感受到了它的作用。五.作业设计课本134页习题4.1中A组题的2，3，4，6。
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