河南大学数学分析+高等代数考研试题汇编（2001-2010）

河南大学2001年硕士研究生招生入学考试高等代数..一、（10）设A是复数域C上的阶方阵，n()[]fxCX∈，()gx是A的最小多项式，()()()(),fxgxdx=，求证：（1）秩()dA=秩()fA，（2）()fA可逆()()(),1fxgx⇔=［注()fx是非零多项式］.二、(10)设23,,,αβγλ均为三维向量,令2332,3AB2αβγγγγ⎛⎞⎛⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠,已知行列式18,2AB==,求矩阵A和B的差的行列式AB−.三、(10)已知,三阶非零矩阵满足12324369Q⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠t⎟P0PQ=,试就参数t的取值情况,讨论矩阵的秩.P四、(10)为何值时,线性方程组k1232123123424xxkxxkxxkxxx++=⎧⎪−++=⎨⎪−+=−⎩有唯一解、无解和无穷解?在有无穷解时求其通解.五、(15)设,AB都是阶是对称矩阵,证明:如果n,AB都是正定矩阵,那么AB也是正定矩阵.六、（15）设都是数域上的线性空间V的子空间，如果12,VVFVα∀∈，有1VV2α∈U.证明:1VV=或.2VV=七、设123,,ξξξ是三维向量空间V的一组基,线性变换σ为()()()1122123123232262333σξξξξσξξξξσξξξξ=−+⎧⎪=−+⎨⎪=−+−⎩,设A为σ在基123,,ξξξ下的矩阵,试给出可逆矩阵,AP及B,使1PAPB−=.八、(15)设η是欧氏空间中的一单位向量,定义线性变换()A2,ααηα=−η,证明:是第二类正交变换.A1河南大学2002年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(10)设分块矩阵0,TEpABPPcααα∗⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠.其中为阶可逆矩阵,pnα为维行向量,为常数,ncp∗是的伴随矩阵,pE为n阶单位阵.(1)计算AB;(2)证明:B可逆的充分必要条件是1Tpcαα−=.二、(10)已知()()()()1231,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,,3,10,,4abαααβ===−=.问(1)取何值时,,abβ不可能由123,,ααα线性表示?(2)取何值时,,abβ可由123,,ααα线性表示?并写出此表达式.三、(10)设矩阵15310xzAyzx−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，且1,AA=−的伴随矩阵A∗有特征值0λ，属于0λ的特征向量为，求()1,1,1Tα=−−,,xyz及0λ的值.四、(10)设A为阶方阵,mB为矩阵,且nm×B的秩为,mBBA=.证明:AE=.五、(15)设A为三阶实对称矩阵,A的特征值是1,.属于2,3A的特征值1,的特征向量分别是.求2()(121,1,1,1,2,1TTαα=−−=−−)(1)求A的属于特征值的特征向量;3(2)求矩阵A及正交阵使是对角阵.QTQAQ六、(15)设A为一个级实对称矩阵,n0A=而A的前1n−个顺序主子式都大于零,证明:二次型TXAX是半正定的,其中.()12,,,TnXxxx=L七、(15)设12,,sVVVL是线性空间V的个非平凡的子空间.证明:V中至少有一个向量不属于s12,,sVVVL中的任一个.八、(15)设σ是维线性空间V上的线性变换,且n2σσ=,证明:(1)V是σ的值域Vσ与σ的核()10σ−的直和;(2)σ的特征多项式()()1snsfλλλ−=−,s是Vσ的维数.2河南大学2003年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)V是数域上维线性空间,Pnσ是V上的线性变换.,kP∈Vα∈且()10nkIσα−−≠,而=()0nkIσα−.证明:()()1,,,nkIkIασασα−−−L是V的一组基,并求σ在这组基下的矩阵.(I表示单位变换)二、(15)设()()()()123410,7,4,8,5,3,2,1,10,6,4,2,8,6,3,8,αααα=−−−=−=−=−−−=5α()2,1,1,0.求12345,,,,ααααα的极大线性无关组,并用极大线性无关组表示其它向量.三、(15)设为不可约多项式,()Px()()()(),fxfxdx′=,则()Px是()fx的()1kk>重因式()()1,kPxdx−⇔而()()kPxdx¬.四、(15)设,,ABC是阶方阵,证明:秩秩n0ACB⎛⎞≥⎜⎟⎝⎠()A+秩()B.五、(15)设是维线性空间V上的线性变换(1,2,,ii)λ=Lnmσ的互不相同的特征值,iVλ是相应的特征子空间.证明:iiVVViλλ+++Lλ是直和.六、三阶实对称矩阵A的特征值是1,1,1−−.属于1λ=的特征向量为,求矩阵(11,2,2η′=)A.七、(15)()fx复系数多项式,A是阶复矩阵.证明:n()fA可逆的充分必要条件是()fx的根都不是A的特征值.八、(15)A是阶实矩阵.证明:nAA′与AA′相似.(以下非代数题目,略去)3河南大学2004年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)设()fx为整系数多项式,且()0f和()1f都是整数.试证明()fx无整数根.二、(15)设{}{}12,,,nnnnMAAAAPMAAAAP××′′==∈==−∈12nnPMM×=⊕，证明:.三、(10)设,AB分别是矩阵,,nmnp××X是mp×矩阵.证明:(1)矩阵方程AXB=有解的充分必要条件是()(),rArAB=;(2)矩阵方程AXB=的解什么时候唯一.四、(10)A是阶方阵,n()gλ是A的最小多项式,()fλ是A的特征多项式.证明:()()0gλλλ−的充分必要条件是()()0fλλλ−.五、已知12,,,nββLβ是线性空间V中的线性相关组,但其中任意1n−个向量必线性无关,若,则全不为零或全为零.10niiibβ==∑12,,,nbbbL六、(10)设,AB是阶正交矩阵,且n0AB+=.证明:一定存在非零向量0X,使.00AXBX=−七、(15)设η是欧氏空间中一单位向量，定义()2,σααηαη=−.证明:(1)σ是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射;(2)σ是第二类的;(3)若n维欧氏空间中,正交变换σ以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间是1V1n−维的,则σ是镜面反射.八、(10)设,证明:可逆,充分必要条件是,nmmnAB××nEAB−mEBA−可逆.试用,AB及()nEAB−的逆矩阵表示()mEBA−的逆矩阵.(以下非代数题目,略去)4河南大学2005年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(10)证明:()(),kxfxxfxk⇔∈�.二、(10)计算阶行列式nijDa=的值,其中,,1,2,,ijaijij=−=Ln.三、(15)讨论取何值时方程,ab1231231234324axxxxbxxxbxx++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,并求解.四、(15)设A是二阶矩阵,且满足:23100AAE−−=,E为二阶单位阵,(1)问A是否可逆?说明理由.(2)A能否相似于对角阵?为什么?五、(10)设,其中AAMCBC⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠,,ABC均为阶方阵.证明:n(1)M可逆可逆;AB⇔(2)当M可逆时,求1M−.六、(10)设,AB是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵.证明:存在实可逆矩阵T,使为对角矩阵.()TABT′+七、(10)求线性空间W的维数于一组基.W是由A的全体实系数多项式所生成的线性空间,其中1101A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.八、(10)在实数域上全体矩阵组成的线性空间22×22R×中,取,定义线性变换如下1203M⎛⎞=⎜⎝⎠⎟()22,XXMMXXRσ×=−∈.(1)证明:σ是22R×上的线性变换;(2)求σ的核()10σ−的维数与一组基.九、(10)证明:实对称矩阵的特征值全是实数.5河南大学2006年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（20）证明:如果()()()2336121xfxxfx+++,则()()()x()121,1xfxxfx−−.二、（20）计算阶行列式,其中nD12121nnnxmxxxxmxDxxm−−=−LLMMMLL三、（20）已知齐次线性方程组()()1,2()()1231231232123123230012350,22320xxxxbxcxxxxxbxxxxax++=⎧++=⎧⎪⎪++=⎨⎨0++=⎪⎩⎪++=⎩同解,试确定的值.,,abc四、（20）设,nnABP×∈,且秩()A+秩()Bn≤,证明:存在阶可逆矩阵nM,使.0AMB=五、（20）设,定义V上的变换22VP×=ϕ如下:(),2AAAAVϕ′+=∀∈.(1)证明ϕ是V上的线性变换;(2)求()1,0Vϕϕ−;(3)证明()10VVϕϕ−=⊕;(4)求ϕ的最小多项式;(5)求ϕ的初等因子.六、（20）已知12,,,nαααL是V的一组基,A为ns×矩阵,设()()1212,,,,,,nnAβββααα=LL,证明:秩秩()12,,,nβββ=L()A.七、（20）设123,,ααα是欧氏空间V的基,123,,ααα的度量矩阵为,令210130001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠()1223,WLαααα=++(1)求W的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交基;(2)求W的维数和一组基.⊥八、（10）设,AB均为阶实对称矩阵,且nA正定,若AB的特征根全大于零,证明:B正定.河南大学2007年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(20)证明:2323111nnxxxx++++++,mn,其中为正整数.二、(20)计算行列式01211110100100naaDaa=LLLMMMML0的值.三、(20)证明:矩阵A半正定的充分必要条件是存在实矩阵,使CACC′=.(其中表示的转置)C′C四、(10)设A为阶方阵,证明:若n0A=,则A中任意两行(或两列)对应元素的代数余子式成比例.五、(15)设,AB分别是阶矩阵,证明:,mnnn××()0ABX=与0BX=同解的充分必要条件是秩()AB=秩(.)B六、(15)设4R的两个子空间和为:1S2S(){}(){}1123412342123412341234,,,0,,,,0,0,SxxxxxxxxSxxxxxxxxxxxx=+++==−−+=++−=2求,的维数与一组基.12SS+1SSI七、(20)求矩阵126103114A−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠的若当标准形.八、(20)求正交矩阵T,使TA成对角形,其中.T′1111111111111111A⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠九、(10)设A为阶方阵,nE为阶单位阵.证明:n2AE=⇔秩()AE++秩()AEn−=.7河南大学2008年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)设()()[],,,,,fxgxPxabcdP∈∈,且0adbc−≠.证明:()()()()()()()(),,afxbgxcfxdgxfxgx++=.二、(15)计算行列式121212123nnnxaaaaxaaDaaxaaaax=LLLMMMML.三、(15)设A为阶矩阵,证明:mn×AXB=对任何都有解mbP∈⇔秩()Am=.四、(15)求向量组()()()()12341,1,0,0,1,1,1,1,1,3,1,1,2,2,1,3,5ααααα=−==−−−==()0,2,2,0的极大线性无关组,并用它表示其余向量.五、(15)设A为阶矩阵mn×()mn<,且秩()Am=,证明:存在nm×矩阵B,使得.(为阶单位阵)mABE=mEm六、(15)证明:阶实对称矩阵nA正定⇔存在实可逆阵，使得PAPP′=.七、(15)设是线性空间V的子空间,其中12,,WWW12121,,WWWWWWWW⊆=+II=2WW+,证明:.12WW=八、(7、8)设σ是线性空间V上的一个线性变换,且2Iσ=(I是单位变换).(1)证明:σ的特征值只能是;1±(2)其中分别是特征值1,1,VVV−=⊕111,VV−1−的特征子空间.九、(15)设211101002A−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠求A的若当标准形.十、（15）证明:如果σ是维欧氏空间的一个正交变换,那么nσ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.8河南大学2009年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（15）设,,ABC分别为的三个矩阵，且,,mnnsst×××0ABC=，其A中的秩为，C的秩为.证明:.ns0B=二、（15）若阶方阵4A的每一个行向量、每一个列向量分别均由两个和两个1组成，那么0A的行列式等于零.三、(20)设A为阶实对称矩阵,证明:n{}20VXXAX′==是维欧氏空间nnR的一个子空间.四、(20)若以()fx表示实系数多项式,证明:()()()(){}10,Wfxffxn==∂≤是实数域上的一个线性空间,并求出它的一组基.五、(20)设,AB是两个幂等矩阵,即22,AABB==,证明:若秩()A=秩()B,则A与B相似.六、(20)设,AB是两个实对称矩阵,且A正定,证明:复方阵AiB+是可逆阵.七、(20)设,AB是数域上的两个不同的阶对称矩阵,且Pn()rBAr−=,这里()rA表示矩阵A的秩.证明:存在个阶对称矩阵,使.1r−n121,,,rCCC−L()()()111,1,2,,iirrCArCCrBCir+−−=−=−=−L1八、(20)设是数域上任意两个阶可逆矩阵,,PQFnnM表示数域上全体阶方阵的集合,在F(2n≥)nM上定义变换(),PQσ()(),,nPQXPXQXMσ=∀∈若将nM看作数域上的线性空间,则是此线性空间的一个线性变换,进一步令F(,PQσ))12Qn⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O试求线性变换的所有特征值和特征向量.(1,QQσ−9河南大学2010年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（15）设()()[],,fxgxPxkZ+∈∈，求证：()()fxgx的充要条件为()()kkfxgx.二、（15）用初等对称多项式表示出n元对称多项式：221234xxxx∑（其中1212nlllnaxxx∑L表示所有由经过对换得到的项的和）.1212nlllnaxxxL三、（20）设X是矩阵.Y是1矩阵，1n×n×α是实数，求证：1EXYYXαα−=−，其中E是阶单位矩阵.n四、（20）线性方程组111122121122221,111,221,000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax−−−+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLL的系数矩阵为11121212221,11,21,nnnnnaaaaaaAaaa−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMMLn设iM是矩阵A中划去第列剩下的阶矩阵的行列式.i1n−（1）证明：()()112,,,1nnMM−−−LM是方程组的一个解；（2）如果矩阵A的秩为，那么方程组的解全是1n−()()112,,,1nnMMM−−−L的倍数.五、（20）求证：下列方程组在复数域内只有零解：122221212000nnnnnnxxxxxxxxx+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLL.六、(20)欧氏空间V中的线性变换φ称为反对称的，如果对任意的,Vαβ∈，都有()(,,)φαβαφβ=−，证明：（1）φ为反对称的充要条件为φ在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；（2）如果是1Vφ的不变子空间，则的正交补1V1V⊥也是.七、（20）证明1012210001000100000001nnnaaaaaλλλλλ−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠LLLMMMMMLL的不变因子是1,（1,,1L1n−个），()fλ，其中()111nnnnfaaλλλλ−−a=++++L.八、（20）（1）用正交变换将二次型()222123123121323,22844fxxxxxxxxxxxx=+−−−+化为标准形，并写出所做的变换；（2）写出上述二次型的规范形，并求出其秩、正负惯性指数和符号差.11