设计性试验和综合性试验

1设计性试验和综合性试验实验内容复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。若银行一年活期年利率为，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？基础实验一函数极限(设计性实验)第1页/共73页实验 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即储户结算频率为n)，每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为本金*利率=p*r/n第一期到期后的本利和是本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)基础实验一函数极限(设计性实验)第2页/共73页因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为第二期到期后的利息应为p(1+r/n)本金*利率=p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是本金+利息=p(1+r/n)+p(1+r/n)*r/n=p(1+r/n)^2…，第n期到期后的本利和是p(1+r/n)^n存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为p(1+r/n)^tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n→∞,t=1年后本息共计≈10.6184(万元)基础实验一函数极限(设计性实验)第3页/共73页随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n→∞时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。基础实验一函数极限(设计性实验)第4页/共73页实验过程a=100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为>>symsnr>>a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf)a=100000*exp(r)>>symsn>>a=limit(100000*(1+0.06/n)^n,n,inf)基础实验一函数极限(设计性实验)第5页/共73页实验二最优价格问题实验目的1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值实验要求掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff基础实验二函数的导数(设计性实验)第6页/共73页实验内容某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大基础实验二函数的导数(设计性实验)第7页/共73页实验方案基础实验二函数的导数(设计性实验)第8页/共73页基础实验二函数的导数(设计性实验)第9页/共73页>>f=inline('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fminbnd(f,1000,3500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750x=122500(1)实验过程基础实验二函数的导数(设计性实验)第10页/共73页基础实验二函数的导数(设计性实验)第11页/共73页基础实验二函数的导数(设计性实验)第12页/共73页(2)>>f=inline('-(980+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)f=Inlinefunction:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760实验过程基础实验二函数的导数(设计性实验)第13页/共73页实验三相关变化率实验目的实验要求1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知识解决实际问题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令基础实验二函数的导数(设计性实验)第14页/共73页有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求1.当其下端离开墙脚时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？实验内容基础实验二函数的导数(设计性实验)第15页/共73页设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有实验方案基础实验二函数的导数(设计性实验)第16页/共73页1.梯子的上端下滑之速率当时，2.梯子上、下端相同速率处，即(舍去)基础实验二函数的导数(设计性实验)第17页/共73页即当梯子下端离开墙脚的距离是时，梯子的上、下端的相同的速率移动.3.即解得x=4，-4（舍去）.即当梯子下端离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.基础实验二函数的导数(设计性实验)第18页/共73页实验过程(1)>>symsxt>>f=5-sqrt(5^2-x^2);>>x=3*t;>>a=compose(f,x);>>c=diff(a,t);>>b=subs(c,'t','x/3');>>d=subs(b,'x','1.4');>>numeric(d)ans=基础实验二函数的导数(设计性实验)第19页/共73页(2)>>symsx>>a=solve('((3*x)/sqrt(25-x^2))-3','x')a=5/2*2^(1/2)(3)>>symsx>>a=solve('((3*x)/sqrt(25-x^2))-4','x')a=4基础实验二函数的导数(设计性实验)第20页/共73页基础实验三一元函数的积分(设计性实验)实验一树的高度问题实验目的1.加深对积分概念的理解2.使用积分理论解决实际问题3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令实验要求第21页/共73页有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值(如作为木柴)，人们要求该树在5年内(t=6，在种植时已生长一年)至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。实验内容基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第22页/共73页实验方案树的高度，由题意可得将t=1代入，得即基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第23页/共73页>>symst>>f=int(1.2+5*t^(-4))f=6/5*t-5/3/t^3>>clear>>symsc>>c=solve('1.2-5/3+c-1','c')即种植树5年后，树高，比种植时的1m长高了，超过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。实验方案实验过程基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第24页/共73页实验二生日蛋糕问题掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令实验目的1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应用问题3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令实验要求基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第25页/共73页一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5，0<h<1(单位m)实验内容基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第26页/共73页由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。实验内容基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第27页/共73页实验方案首先 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，绕水平中心轴旋转而成，若高为H(m)，半径为r(m)，密度为k(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第28页/共73页如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为以此类推，如果蛋糕是n层的，实验方案基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第29页/共73页每层高为H/n，半径分别为r1，r2，……，rn，则蛋糕的质量和表面积为事实上，蛋糕边缘圆盘半径基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第30页/共73页(0<h<1)此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积分。基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第31页/共73页求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为W=5.4171(kg)，S=16.0512(m2)>>symsh>>r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5;>>quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2',0,1)>>r0=subs(r,h,0)>>quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5)',0,1)+pi*r0^2实验方案基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第32页/共73页实验三还款问题实验目的1.加深了解一元函数积分法2.定积分在经济数学中的实际应用3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程掌握定积分概念，Matlab软件求定积分实验要求基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第33页/共73页现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？实验内容基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第34页/共73页实验方案这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为n年的贴现值为每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为因付款流总值为250万元，即有基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第35页/共73页得（万元），故每年应付款万元实验方案基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第36页/共73页>>clear>>symstA>>a=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a=-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A>>b=solve('-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250','A')b=-15/(exp(-3/5)-1)实验步骤基础实验三一元函数的积分(设计性实验)第37页/共73页基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)实验一通信卫星在地面上的覆盖面积实验目的1.加深对曲面积分概念的理解2.会用积分理论解决实际问题3.会用Matlab命令求曲面积分，用数值解法求二重积分1.掌握曲面积分的应用2.了解二重积分的数值解法实验要求第38页/共73页实验内容基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)第39页/共73页通讯卫星覆盖地面剖面图基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)第40页/共73页将地球视为球体（地球半径为R=6378km），以球心为原点建立如图所示的坐标系。因上半球面方程为故被卫星覆盖的地表面积为所以卫星的覆盖面积为基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)实验方案第41页/共73页S=2.1694e+008.基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)第42页/共73页基础实验三二元函数的积分(设计证性实验)实验过程M源程序：clearallclcFrt=inline('6378*r./sqrt(6378^2-(r.*cos(t)).^2-(r.*sin(t)).^2)');R=6378;h=35800;r1=R*sqrt(1-(R/(R+h))^2);s=dblquad(Frt,0,r1,0,2*pi)％对二重积分作数值计算运行结果：S=2.1694e+008第43页/共73页综合实验第44页/共73页某养殖中心新建立了一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，开始计划为每3m3放入一条鱼，鱼塘的平均深度为6m，鱼塘的平面示意图如图所示，他关于x轴对称，假设在钓鱼季节结束时所剩的鱼为开始的25%，如果一张钓鱼证平均可以钓20条鱼，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？实验一钓鱼问题实验内容第45页/共73页问题易归结为计算鱼塘的平面面积，而由题目已知条件知，鱼塘面积的求解即是一个定积分过程，且这里定积分计算过程中采用的’分割’很特殊，是等分，于是建立适当坐标系，便得一系列数据，由此可构造一个三次拟合函数，从而由定积分定义得出鱼塘的面积，一旦确定鱼塘平面面积，则可确定鱼塘体积，之后便易根据题目要求建立等式。使用matlab中命令ployfit[Xdata,Ydata,3]构造一个三次拟合函数。实验方案实验一钓鱼问题第46页/共73页(2)算出鱼塘平面面积以及体积。(3)根据题目要求有实验方案解出x,取整即为钓鱼证的最大个数实验一钓鱼问题第47页/共73页Xdata=[0:5:45];Ydata=[0,260,400,500,570,580,550,430,270,0];p=polyfit(Xdata,Ydata,3);y=polyval(p,x);s=integrate(y,[0:0.01:45],0);functionv=f(x)v=(1/3)*(2*s*6)*(1-0.25)-20*x;z=fzero(@f,20)输出结果：即钓鱼证的最大个数为2691实验过程实验一钓鱼问题第48页/共73页高级动物的血管系统遍布全身，其几何形状直接影响到机体在完成血液循环过程中所消耗的能量．血管应如何分布．才能使血液循环过程所消耗的能量最小？本实验仅讨论血管在分支点的几何形状问题，即血管在分支点处粗细血管半径的比例和分岔角度取何值时使消耗的能量最小。实验内容实验二血管在分支点的几何形状第49页/共73页实验方案首先作如下几个假设：在血液循环过程中能量的消耗主要是用于克服血液在血管中流动时所受到的阻力和为血管壁提供营养。2.(几何假设)设血管在分支点只分成两条较细的血管，联接分支点的三条血管在同一平面内且有一条对称轴。若不然，会增加血管的总长度，使总能量消耗增加。实验二血管在分支点的几何形状第50页/共73页4.(生理假设)设血管壁所需的营养随管壁内表面积和管壁的厚度增加而增加，管壁的厚度与管壁半径成正比。实验方案3.(力学假设)设血管为刚性体(实际上血管有弹性，这种近似对结果影响不大)，即血液的流动视为粘性流体在刚性血管内流动。实验二血管在分支点的几何形状第51页/共73页如图所示，设血管从粗血管中的A点经过一次分支分别向两条较细血管中的B和B’点供血，C是血管的分岔点，B和B’是关于对称轴AC的对称点，H为A、B两点间的垂直距离L为A、B两点的水平距离，r为分岔前的血管半径，为分岔后的血管半径，为分岔前单位时间血流量，为分岔后单位时为B、C两点间的距离。为A、C两点间的距离，间血流量，实验二血管在分支点的几何形状第52页/共73页这里，k为比例常数。由假设3及流体力学定律可知，粘性物质在刚性管道内流动所受到的阻力与流速的平方成正比，与管道半径的四次方成反比。于是血液在粗细血管内所受到的阻力分别为和3.(力学假设)设血管为刚性体(实际上血管有弹性，这种近似对结果影响不大)，即血液的流动视为粘性流体在刚性血管内流动。实验二血管在分支点的几何形状第53页/共73页由假设4，在单位长度的血管内，血液为管壁提供营养所消耗的能量其中b是比例常数，用于克服阻力及为管壁提供营养所消耗总能故血液从A点4.(生理假设)设血管壁所需的营养随管壁内表面积和管壁的厚度增加而增加，管壁的厚度与管壁半径成正比。流到B和B’点，量为(1)实验二血管在分支点的几何形状第54页/共73页设分岔的角度为则将（2）式代入（1）式，得现求当所消耗的总能量最小。令(2)(3)实验二血管在分支点的几何形状第55页/共73页由（4）式和（5）式，得由（6）式和（7）式，得(4)(5)(6)因，故上述结果与生物学所得的结果基本吻合。实验二血管在分支点的几何形状第56页/共73页M源程序:clearallclcsymskqrbaLHtr1;E=(L-H./tan(t))*(k*q^2/r^4+b*r^a)+(2*H/sin(t))*(k*q^2/(4*r1^4)+b*r1^a);Er=diff(E,'r');Er1=diff(E,'r1');Et=diff(E,'t');x=0:0.1:2m=(x-4)./(x+4)theta=acos(2.^m)plot(x,theta,'r-.')r_rr1=4.^(1./(x+4));实验过程实验二血管在分支点的几何形状第57页/共73页holdonplot(x,r_rr1,'b:o')title('theta(a),rateofrandr1(r_rr1)')xlabel('a');legend('theta','r_rr1',1)运行结果：实验二血管在分支点的几何形状第58页/共73页一警察发现一被谋杀者，时间是上午9点钟，当时测得尸体的温度为32.4°C，一小时后，尸体的温度变为31.7°C,尸体所在房间内的温度为20°C.假设人体的正常温度为36.5°C(提示：热物体的冷却速度和其自身温度与外界温度的差值成正比)实验三预测谋杀案发时间实验内容第59页/共73页由常识知道，一热物体，其温度下降的速度与其自身温度同外界温度的差值成正比关系，温度越小，下降的速度就越小，随着热物体温度的继续下降，其温度趋于所在周围空间的温度，实验方案实验三预测谋杀案发时间第60页/共73页设为尸体的温度，为时间，为比例常数，则可知温度由于温度是下降的，所以应取负值，设由于该方程为一阶可分离变量型的微分方程，不难看出他的解。的下降速度，即温度的变化率为故上面的方程变为实验三预测谋杀案发时间第61页/共73页利用Matlab软件来解上述方程，运行dsolve('DH=-k*(H-20)','H(9)=32.4')输出结果ans=20+62/5*exp(-k*t)/exp(-9*k)即方程的符号解为H=20+12.4*exp(-k*t)/(-9*k),继续运行solve('20+12.4*exp(-k*10)/exp(-9*k)=31.7')输出结果即k=0.0581,所以方程的解为H=20+20.9177*exp(-0.0581*t)实验过程实验三预测谋杀案发时间第62页/共73页可以画出温度-时间函数曲线进行进一步分析，请读者自己练习，由问题分析得，谋杀发生的时间为身体的温度°C，运行语句时对应的时间输出结果为ans=solve('20+20.9177*exp(-0.0581*t)=36.5')实验三预测谋杀案发时间从而得出结论：谋杀时间即凌晨4点6分左右．第63页/共73页实验四波音公司飞机最佳定价策略问题全球最大的飞机制造商—波音公司自1955年推出波音707开始成功的开发了一系列的喷气式客机。问题：讨论该公司对一种新型客机最优定价策略的数学模型实验内容第64页/共73页定价策略涉及诸多因素，这里考虑以下主要因素：价格，竞争对手的行为，出售客机的数量，波音公司的客机制造量，制造成本，波音公司的市场占有率等。实验方案实验四波音公司飞机最佳定价策略问题客机的价格记为p,根据实际情况，对于民航飞机制造商，能够与波音公司抗衡的竞争对手只有一个，因此他们可以在价格上达成一致，具体假设如下：第65页/共73页(1)型号：为了研究方便，假设只有一种型号的飞机(2)销售量：其销售量只受飞机价格p的影响，预测以此价格出售，该型号飞机全球销售量为N,N应该受到诸多因素的影响，假设其中价格是最主要的因素。根据市场历史的销售规律和需求曲线，假设该公司销售部门预测得到N=N(p)=-78p2+655P+125实验四波音公司飞机最佳定价策略问题第66页/共73页(4)制造数量:假设制造量等于销售量，记为x,既然可以预测该型号飞机全球销售量，结合波音公司的市场占有率，可以得到X=hN(p)实验四波音公司飞机最佳定价策略问题(3)市场占有率，既然在价格上达成一致，即价格的变化是同步的，因此，不同价格不会影响波音公司的市场占有率因此该占有率是常数，记为h第67页/共73页数学模型如下：Max{R(p)=px-C(x)},其中C(x)=50+1.5x+8x3/4,x=hN(p)N=N(p)=-78p2+655p+125p,x,N>0实验四波音公司飞机最佳定价策略问题(5)制造成本，根据波音产品分析部门的估计，制造成本为C(x)=50+1.5x+8x3/4(6)利润，假设利润等于销售收入去掉成本，并且公司的最优策略原则为利润R(p)最大，利润函数为R(p)=px-C(x)由以上的简化分析和假设得到波音公司飞机最佳定价策略的第68页/共73页h=0.5;a=0;b=10;d=(b-a)/n;fFori=1:n+1pr(i)=a+(i-1)*d;p=pr(i);实验过程采用图形方法求解，具体用matlab做出目标函数曲线图，得到一个直观的印象，matlab程序如下：实验四波音公司飞机最佳定价策略问题第69页/共73页n=-78*p^2+655*p+125;x=h*n;r=p*x;c=50+1.5*x+8*x^(3/4);lr(i)=r-cendplot(pr,lr);gridonXlabel(‘价格p’)Title(‘利润曲线R(p)’)实验四波音公司飞机最佳定价策略问题第70页/共73页实验四波音公司飞机最佳定价策略问题第71页/共73页从运行结果可以看出利润在8和9中间已经开始为零了，且根据目标函数的特点可以断定在最优定价策略下价格大致在6到7之间，再用图形放大法(根据图形依次改变自变量的范围和步长，即在程序中改变第二行和第三行语句，将最优解的范围限制的越来越小，直到找出满意的近似解为止)，根据分析图形，可以n取100不变，去见依次取为[6,7][6.2,6.3][6.28,6.29][6.285,6.287][6.285,6.2862],图为最终运行结果，经分析可以进一步估计出实验四波音公司飞机最佳定价策略问题注：以上市场占有率为，对于市场占有率h的其他取值可以类似的进行，读者可以自己练习第72页/共73页