初二数学秋季讲义第7讲.期中复习教师版

7期中复习题型一：轴对称思路导航定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定典题精练【例1】⑴如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）CA．△EBD是等腰三角形，EB=EDB．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等AEDC．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC一定是全等三角形B【解析】∵ABCD为矩形∴∠A=∠C=90°，AB=CD∵∠AEB=∠CED∴△AEB≌△CED（第四个正确）1∴BE=DE（第一个正确）∠ABE=∠CDE（第二个不正确）∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（第三个正确）故选B．⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（）（向上对折）向右对折图(1)图(2)图(3)图(4)A.B.C.D.【解析】A【例2】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．草地河AB【解析】沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，∵ET+TR+FR＞EF，∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线．2ODOF草地DF草地TREECC河A河ANMMBB（1）（2）题型二：全等三角形思路导航对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL性质、判定角平分线有关角平分线辅助线典题精练【例3】如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．GAFEDBC【解析】连接DG，则△ADG是等腰三角形．G∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，A∴∠AFC=∠AEB=90°F∴∠ACG=∠DBAE又∵BD=CA，AB=GC，DBC3∴△ABD≌△GCA；∴AG=AD，∴△ADG是等腰三角形．【例4】△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBC=20°，求∠OCA的度数．COAB【解析】作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴AC=BC，∴AD=BD，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴∠ACB=80°，∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，∵在△CAP和△OAP中，∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP∴△CAP≌△OAP，∴AC=OA，∴∠ACO=∠AOC，1∴∠OCA=（180°-∠CAO）211=[180°-（∠CAB-∠OAB）]=（180°-40°）=70°．22【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．⑴如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关4系，并说明理由．CCCDDDNAEBAEBAEB图1图2图3G【解析】⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，1∴∠ABC=60°，BC=AB．2∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．∵DE⊥AB于点E．1∴AE=BE=AB．2∴BC=BE．∴△EBC是等边三角形；⑵结论：AD=DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，又∵DM=DN，∴△NDM是等边三角形，∴MN=DM，在△NGM和△DBM中，∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB∴△NGM≌△DBM，∴BD=NG=DG+DM，∴AD=DG+DM．5⑶结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H，使得DH=DN．由⑴得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中，∵DN＝HN，∠DNG＝∠HNB，∠H＝∠2∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD，∴DG=ND+AD．∴AD=DG-ND．题型三：因式分解典题精练【例6】已知四个实数a、b、c、d，且a≠b，c≠d．满足：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8．⑴求a+c的值；⑵分别求a、b、c、d的值．【解析】⑴由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，得（a+c）2=a2+c2+2ac=12，∴a+c=23⑵由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，∵a≠b，c≠d，∴a+b+c=0，a+c+d=0，∴b=d=-（a+c），6又（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4．232343当a+c=23时，a-c=，解得：a=，c=，b=d=23；333232343当a+c=23时，a-c=，解得：a=，c=，b=d=23．333【例7】设a=3212，a=5232，…，a=2n122n12（n为大于0的自然数）．12n⑴探究a是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；n⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a，a，…，a，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并12n指出当n满足什么条件时，a为完全平方数（不必说明理由）．n【解析】⑴∵a=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，n又∵n为非零的自然数，∴a是8的倍数．n这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a为完全平方数．n7思维拓展训练(选讲)训练1.阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部1分沿∠BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BAC1112nn的平分线AB折叠，点B与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次nn+1n恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB折叠，点B与1点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分1沿∠BAC的平分线AB折叠，此时点B与点C重合．11121探究发现⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．AAAA1A2AA1…3BBBCDCBBn+1BBBBC12n12图2图1图3【解析】⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB折叠，1∴∠B=∠AAB；11又∵将余下部分沿∠BAC的平分线AB折叠，此时点B与点C重合，11121∴∠ABC=∠C；11∵∠AAB=∠C+∠ABC，1111∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是：是；8⑵∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将1余下部分沿∠BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿1112∠BAC的平分线AB折叠，点B与点C重合，则∠BAC是△ABC的好22232角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AAB，∠C=∠ABC，1122∠ABC=∠AAB，11122∴根据三角形的外角定理知，∠AAB=∠C+∠ABC=2∠C；12222∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AAB-∠ABC=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，1111根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；⑶由⑵知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．训练2.一节 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 课后，老师布置了一道课后 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 ：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．AAPOO43E12BDCBC备用图⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：9PB=PD(已知)要证△BPO≌△PDEBOP=PEDBOAC，DEAC(已知)3=43=PBD-11=C=45°已知4=2-CPBD=2根据上述思路，请你完整地 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写本题的证明过程．⑵特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．【解析】⑴证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE（AAS）；⑵证明：由⑴可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．训练3.因式分解⑴x22abx3a210ab3b2⑵ab2ab11⑶x24x823xx24x82x2⑷a2bab2a2cac23abcb2cbc2【解析】⑴x22abx3a210ab3b210x22abx3aba3bx3abxa3b⑵ab2ab11ab2abab21aab1bab1a2ab1b2ab1⑶x24x823xx24x82x2x24x8xx24x82xx25x8x26x8x2x4x25x8⑷a2bab2a2cac23abcb2cbc2bca2b2c23bcab2cbc2abcbcabcabcabacbc训练4.按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．【解析】⑴∵a=2，b=3，c=ab+a+b=6+2+3=11，1∴取3和11，∴c=3×11+3+11=47，2取11与47，∴c=11×47+11+47=575，3∴扩充的最大新数575；⑵5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，11则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，（式中m、n为整数）当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．12复习巩固题型一轴对称巩固练习【练习1】如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．DDD'ACA'CBBB'图1图2【解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．题型二全等三角形巩固练习C【练习2】在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针D旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则O线段AP的长是（）APBA．4B．5C．6D．8【解析】∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，∵∠A＝∠C，∠APO＝∠COD，OP＝OD13∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故选C．【练习3】如图⑴，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．1⑴试说明：FG=（AB+BC+AC）；2⑵①如图⑵，BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图⑶，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．则在图⑵、图⑶两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．AAAEEDDDEGFGGFFMBCNBCBC(1)(2)(3)【解析】⑴证明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，∴MB=AB，∴AF=MF，同理可说明：CN=AC，AG=NG∴FG是△AMN的中位线，111∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）2221⑵图⑵中，FG=（AB+AC-BC）21图⑶中，FG=（AC+BC-AB）2①如图⑵，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由⑴中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，111∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC），222②如图⑶延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由⑴中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，111∴FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB）22214题型三因式分解巩固练习【练习4】分解因式：x4y4xy42．【解析】原式=（x2+y2）2-2x2y2+（x2+2xy+y2）2-2，=（x2+y2）2-2x2y2+（x2+y2）2+4xy（x2+y2）+4x2y2-2，=2（x2+y2）2+2x2y2+4xy（x2+y2）-2，=2[（x2+y2）2+x2y2+2xy（x2+y2）-1]，=2[（x2+xy+y2）2-1]，=2（x2+xy+y2-1）（x2+xy+y2+1）．【练习5】图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．⑴图②中的阴影部分的面积为；⑵观察图②请你写出三个代数式mn2、mn2、mn之间的等量关系是；⑶若x+y=7，xy=10，则xy2；⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．⑸试画出一个几何图形，使它的面积能表示mnm3nm24mn3n2．nmmmnnnmmmnmnnmmnmmn①mn③②【解析】（1）阴影部分的边长为（m-n），阴影部分的面积为（m-n）2；（2）（m+n）2-（m-n）2=4mn；（3）（x-y）2=（x+y）2-4xy=72-40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：15．16第十五种品格：创新成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。很多人想听听他成功的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。他却淡淡一笑，说：“还是我出道题考考你们吧！”“某处发现了金矿，人们一窝蜂地涌了过去，然而一条河挡住了他们的去路。这时，如果是你，你将怎么办？”有人说绕道走，也有人说游过去。嘉宾只笑不说话，过了很久他才说：“为什么非要去淘金呢？不如买船从事运送淘金者的营生。”众人愕然。是啊，那种情形下，即便你将那些淘金者宰得身无分文，他们也心甘情愿呀--因为过去就是金矿！成功往往就隐藏在别人没有注意的地方，假如你能发现它，抓住它，利用它，那么，你就会有机会获得成功。敢于创新，变换思维去想问题，会得到意想不到的惊喜。今天我学到了17