北京四中2020-2021学年度第一学期测试二
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
试卷（2020.12.07）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）L若全集U=R,A={x\<1},8={x|x>—l},则（）2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（A.y=x+\B.)，=t区C.y=-xD.y=-x23.已知角。的终边经过点尸,则角。可以为（n5乃D.——34.圆/+货一2工-8），+13=0的圆心到直线or+y—l=0的距离为1,则〃=（）A」3D.2b-245.函数y=sinA.2冗X1I——+2xB.31在区间（一6,6）内的零点个数为（）C.4D.6.在平面直角坐标系宜为中，点4（1,1）,点5在圆V+y2=4上，则|方一。同的最大值为（）A3B.1+V2C.2+V2D.4TOC\o"1-5"\h\z.设a$R,贝是第一象限角”是"sina+cosa>l'W（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.设。〉0,〃>0.若是3"与3'的等比中项，则,+』的最小值为（）ahA.4>/3B.4+GC.4+2>/3D.8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是仇二空气的温度是%□，/min后物体的温度6匚可由公式夕=综+（可—4”424，求得把温度是io。二的物体，放在10二的空气中冷却/min后，物体的温度是40二，若In3取1.099,则f的值约等于（A.6.61B.4.58C.2.89D.1.69.对于数列｛〃“｝,若存在常数使得对任意正整数明册与〃向中至少有一个不小于M,则记作｛叫AM,那么下列命题正确的是（）A.若｛q｝0M,则数列｛q｝各项均不小于河B.若也｝则｛〃”+“｝a2MC若也｝!>、,则｛硝A”?,则｛羽,+1｝>2M+1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.若直线2工一），-5=0与直线x+〃y+3=0相互平行，则实数。等于；这两条平行直线间的距离为.己知双曲线=则渐近线方程为；离心率。为4.已知函数/（x）=xlnx+f,且.%是函数/（x）的极值点，给出以下几个命题：①②与>1：③/（加）+/<0：④/（%）+九0>0，ee其中正确命题的序号是..能够说明“存在不相等的正数°,b,使得4=是真命题的一组a,，的值为..如图放置的边长为1的正方形尸ABC沿x轴滚动.设顶点尸（工,y）的轨迹方程是y=/（x）,则/（工）的最小正周期为：y=/（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的而积为.三、解答题（本大题共6小题，共85分）.（本小题满分14分）己知等比数列｛q｝的各项均为正数，%=8,%+4=48.（I）求数列｛4｝的通项公式；（H）设”=iog4%.证明:｛<｝为等差数列,并求｛么｝的前力项和s〃..（本小题满分14分）已知椭圆W:5+y2=i,直线/过点（0,一2）与椭圆郎交于两点4B,。为坐标原点.3（I）设C为A3的中点，当直线/的斜率为二时，求线段OC的长:2（II）当△043面枳等于1时，求直线7的斜率..（本小题满分14分）已知函数/（x）=sin3x+刃>0,忸|<满足下列3个条件中的2个条件:①函数/（工）的周期为乃；②x=*是函数/"）的对称轴:③/百=0且在区间上单调:（I）请指出这二个条件并说明理由，求出函数/（⑼的解析式:(II)若xe0：,求函数/（x）的最值..（本小题满分14分）'1己知抛物线C：y作直线，与抛物线。交于不同的两点M,M2=2px过点P0/).过点0,-2过点M作x轴的垂线分别与直线。尸，ON交于点d,B,其中。为原点.（I）求抛物线。的方程，并求其焦点坐标和准线方程:（H）求证：4为线段5M的中点..（本小题满分14分）己知函数/(x)=flnx-2x.（I）求曲线>=/（x）在点（1,7（1））处的切线方程;（H）求证：存在唯一的使得曲线y=/（x）在点（%,/（工0））处的切线的斜率为/（2）——（1）；（III）比较/（L01）与-2.01的大小，并加以证明.2L（本小题满分15分）已知集合Slt={(Xpx2,•••,)|xpx2•••,x„是正整数1,2,3,…〃的一个排列}(〃22),函数g(%)h\X：：'对于（4，电，…q）wS”，定义:—1,X
0.1分因为=8,%+%=48,两式相除得/+9-6=0,3分解得q=2,舍去夕=一3.4分所以q=5=4.6分q所以数列｛%｝的通项公式为q=0m=2〃71+4K(II)解：由(I)得a=log/〃=匕1.n+2n+\12分所以数列也｝是首项为1,公差为4=，的等差数列.2所以s“=叫+7”一14分17.（本小题满分14分）33解：（I）当直线/的斜率为|■时，直线/的方程为y=：x—2由，3个)'=广2,,得5/一12%+6=0,—+y*=I14.设A&，X),3(々,必)，。(为,先).nil12则xt+x2=—,所以点c的坐标x()=-,>,o=-x0-2=-^,525所以|OC|=+（II）设直线l:y=五一2,X2TT+V=得(1+45卜2-16乙+12=0,y=kx-2所以4=（16攵2）-48（1+4代）=16（4公一3）T6k12…=中_2=三.|AB|=\/l+k2yl(X1+xj-©「J=yJ\+k2'16kfJ+4k2>4,1+上公一3原点。到直线1的距离d=-==Jl+公在Z11人”17144+/收2-32432-3所以△38面积为K"W=5X.荷414后一3因为△。.面积等于L所以也厂八解得"=±带入判别式检验，符合题意，所以k=±五218.（本小题满分14分）解：（I）由①可得，三=4=幻=2.1分co由②得:7TCD由③得,67TCD,7t,7T+(p=K7r+—=>(p=K^+—冗CD+co=m/r=>(p=mn-——,4——，keZ.62~2~642万24八八—=——>——=>00,故g(x)在区间(L2)单调递增.[8分]又g(l)=l—41n2<0,g(2)=2>0,所以存在唯一的小£(1,2),使得g(%)=0.[9分]综上，存在唯一的％e(l,2)),使得曲线)，=/(同在点(%,/(%))处的切线的斜率为〃2)-/(1).[10分](III)/(1.01)>—2.01.证明如下：[11分]首先证明：当x>l时，f(x)>-x-\.设力(x)=/(^)-(-x-l)=x2lnx-x+1,[12分]则力"(x)=x+2xlnx-L当x>l时，x-l>0»2xln^>0»所以力(x)>0,故〃(x)在(1,一)单调递增，[13分]所以x>l时，有"1)=0,即当x>l时，有〃x)>—x—L所以1.01—1=—2.01.[14分]2L(本小题满分15分)解：(I)解：当〃=6时，排列3,5,146,2的生成列为61,-2,1,434分(II)证明：设的生成列是4，%，…，4：4,4，…，4的生成列是与4也，…,%从右往左数，设排列…与”,《，…，4第一个不同的项为应与4，即：为=4a,。1=。_”・・・,。川=勺7，,声/・显然么=4，4i=b；i，…，心产”下面证明：6分由满意指数的定义知，4的满意指数为排列％,〃2,…M〃中前j—l项中比《小的项的个数减去比《大的项的个数.由于排列《，/，…M”的前k项各不相同，设这k项中有1项比对小，则有人一/一1项比巴大，从而bk=l-(k-l-r)=U-k+\.同理，设排列4,4,…,4中有/'项比4小，则有1项比”大，从而瓦=2/'—女+i.因为％…，6与4,4，…，4是上个不同数的两个不同排列，且4。4,所以/=/',从而印工耳.所以排列《必,…必和4",…”的生成列也不同.io分(III)证明：设排列39,…M的生成列为A也，…也，且，”为％,七,…,为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以“N0,420,・・・力120,瓦4—1.11分依题意进行操作，排列《，，」••,为变为排列勺"缶的,…,%,4+1,•••,an,设该排列的生成列为耳必…,4.13分所以(4+4+…+4)_(4+%+—+")=[g(6-6)+晨〃2一处)+…+g3T-6)]-[gd—a2)+・-+g&-q.J]=-21g(%)+g(6-/)+…+g(%-%)]=-2bk>2.15分所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.
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