第三节 与切线有关的证明与计算考点一切线的性质例1(2018·天津)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°.(1)如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．【分析】(1)由AB是直径得到∠ACB，再由直角三角形性质得∠ABC，
要求
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∠ABD可求∠ACD，由D是的中点可得CD平分∠ACB，即可得出结论；(2)由切线性质得到OD⊥DP，结合平行线性质可得∠P，再由三角形内外角关系可求∠AOD，从而得解．【自主解答】解：(1)连接OD，如解图①.∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°，∵D为的中点，∴∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°；(2)连接OD，如解图②.∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∠BAC＝38°，得∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.1．(2018·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝_____°.602．(2017·宿迁)如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°.∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°.∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB.(2)解：如解图，过点O作OH⊥BC于点H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，考点二切线的判定命
题
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角度❶ 垂线＋角平分线模型例2(2017·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若cos∠CAD＝，BF＝15，求AC的长．【分析】(1)要证CD是⊙O的切线，只需证OC⊥CD，而AD⊥CD，从而只需证OC∥AD，再结合点C是的中点得到OC⊥BE，AB是⊙O的直径得到AD⊥BE，进而得出结论；(2)先求出AB的长，进而求OA的长，然后利用垂径定理及锐角三角
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求出AC即可．【自主解答】(1)证明：如解图，连接OC，∵点C是的中点，∴，∴OC⊥BE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)解：如解图，过点O作OM⊥AC于点M.命题角度❷ 弦切角模型例3如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.求证：(1)CD为⊙O的切线；(2)∠C＝2∠DBE.【自主解答】证明：(1)如解图，连接OC，OD，∵CD＝BC，OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)如解图，∠DOE＝∠ODB＋∠OBD＝2∠DBE，由(1)得OD⊥EC于点D，∴∠E＋∠BCE＝∠E＋∠DOE＝90°，∴∠BCE＝∠DOE＝2∠DBE.命题角度❸ 双切线模型(切线长模型)百变例题5(2018·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．【分析】(1)要证AB是⊙O的切线，可过点O作OE⊥AB于E，然后证明△BEO≌△BCO，得到OE＝OC即可；(2)由BD平分∠ABC，得到∠ABD＝∠CBO，再由∠ADB＝∠OCB得到△ABD∽△OBC，利用相似求出AD的长．【自主解答】(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，如解图．∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD.又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC＋∠OBC＝90°.∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.在△BOE和△BOC中，∴△BOE≌△BOC(AAS)．∴EO＝CO，∵EO⊥AB，∴AB为⊙O的切线．(2)解：∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝10.∵BC，BA都为圆外一点B引出的切线，∴BE＝BC＝6，∴AE＝4.变式一设AB与⊙O相切于点E，求证：△AOD∽△BOE.证明：∵AB与⊙O相切，∴OE⊥AB，∴∠BEO＝∠ADO＝90°.∵△BOE≌△BOC，∴∠EOB＝∠COB＝∠AOD，∴△AOD∽△BOE.变式二延长BO交⊙O于F，连接CF.当AB∥CF，BC＝6时，求AO的长．变式二题图解：∵CF∥AB，∴∠F＝∠ABO，∵∠ABO＝∠CBO，∴∠CFB＝∠CBO，∵∠BOC＝2∠F，∴∠BOC＝2∠OBC，∵OC⊥BC，∴∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝2∠OBC＝60°，∴∠A＝30°.在Rt△ABC中，BC＝6，∴AC＝6，在Rt△BOC中，OC＝BC＝2，∴AO＝AC－OC＝4.
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总结
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第三节 与切线有关的证明与计算。于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝_____°.。在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，。⊙O上，点C是的中点，过点C作CD⊥AE，。【自主解答】证明：(1)如解图，连接OC，OD，。∵CD＝BC，OD＝OB，OC＝OC，。O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，。∵tan∠ABC＝，BC＝6，。在Rt△ABC中，BC＝6，∴AC＝6，
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