2015年全国高中数学联赛模拟试卷（2）姓名__________1.已知函数.记，，则__________.2.已知是虚数单位，若，则____________.3.已知实数满足，则的最大值是_________.4.正四面体中，分别为棱的中点，则平面与平面所成二面角的余弦值为___________.5.设是小于100的正整数，且为整数，则符合条件的所有之和为______.6．已知函数，若对于任意，有恒成立，则实数的取值范围为__________.7.在中，，，点分别在边上，则周长的最小值为___________.8.若实数满足，用表示中的最大值，则的最大值为___________.9.设，数列满足，.记.（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；（2）记，求的前项和.10.已知点，为椭圆上异于点的任意两点，且.（1）若点在线段上的射影为，求的轨迹方程；（2）求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围.11.若实数满足，则称为的不动点.已知函数，其中为常数．（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若时，存在实数既是的不动点，又是的极值点，求的值；（3）证明：不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.2015年全国高中数学联赛模拟试卷（2）参考
答案
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1.已知函数.记，，则__________.【答案】.2.已知是虚数单位，若，则____________.【答案】.3.已知实数满足，则的最大值是_________.【答案】.4.正四面体中，分别为棱的中点，则平面与平面所成二面角的余弦值为___________.【答案】.【解析】取中点，连结，设的中点分别为，求与所成角即可.5.设是小于100的正整数，且为整数，则符合条件的所有之和为______.【答案】.【解析】，即，从而，，注意到连续的3个正整数中有且仅有一个是3的倍数，故3不能整除.即满足要求的为5的倍数，且不是15的倍数..6．已知函数，若对于任意，有恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】.【解析】令，即，令，上式可化为对恒成立.7.在中，，，点分别在边上，则周长的最小值为___________.【答案】.【解析】设点关于直线的对称点分别为，易知，.8.若实数满足，用表示中的最大值，则的最大值为___________.【答案】.【解析】，不妨设，则，.9.设，数列满足，.记.（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；（2）记，求的前项和.解：（1）用定义证明（略），；（2）.10.已知点，为椭圆上异于点的任意两点，且.（1）若点在线段上的射影为，求的轨迹方程；（2）求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围.解：（1）设，设直线方程为，代入得，则.由，，即，即，化简得，或（舍）.设，由，故，代入方程得，整理得.（2），又由（1）知，故中垂线方程为，令，.11.若实数满足，则称为的不动点.已知函数，其中为常数．（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若时，存在实数既是的不动点，又是的极值点，求的值；（3）证明：不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.解：（1）当时，，，若，在上递增；若，在和上递增.（2）由题意，消去得，即，.（3）若存在满足题意，则有两个不同的实根，，即，且，由是的不动点，即为方程的两根，设另一根为，则，，又，故，由，消整理得.设，易知在上递增，又，故在内有唯一的零点，即；另一方面，由及，，与矛盾！综上，不存在满足题意.
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