勾股定理的证明(比较全的证明方法)

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾股弦的定义第一页，共20页。勾股定理的由来　　这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。　　毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．）走进数学史第二页，共20页。走进数学史第三页，共20页。两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．1．传说中毕达哥拉斯的证法2．赵爽弦图的证法4．美国第20任总统茄菲尔德的证法3．刘徽的证法勾股定理的证明5．其他证法第四页，共20页。　　勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:返回第五页，共20页。这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．　　也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”　　仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．第六页，共20页。关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．　传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作正方形．求证：a2+b2=c2．第七页，共20页。数学故事链接相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？探索勾股定理第八页，共20页。　　数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？SA+SB=SCABC探索勾股定理第九页，共20页。ABCSA=a2SB=b2SC=c2abca2+b2=c2设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？SA+SB=SC探索勾股定理返回第十页，共20页。∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG，也就是a2+b2=c2．传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．返回∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，第十一页，共20页。刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．　　令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形DHFI．勾股定理由此得证．刘徽的证法返回第十二页，共20页。我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，那么：赵爽弦图的证法得：c2=a2+b2．返回第十三页，共20页。　　学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．　　总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的：　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．总统巧证勾股定理第十四页，共20页。美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回第十五页，共20页。向常春的证明方法注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法．abcba-bADCBEc第十六页，共20页。我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的．试一试证明:上面的大正方形的面积为：　　           　　下面大的正方形的面积为：　　　      　　从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是a＋b，所以面积相等，即第十七页，共20页。以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于（a+b）²，∴（a+b）²=4×½ab+c²，∴a²+b²=c²邹元治证明第十八页，共20页。作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180°―90°=90°又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90°∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2梅文鼎证明第十九页，共20页。再见第二十页，共20页。