大一第一学期期末高等数学(上)试题与答案

第2页，共10页第PAGE\*MERGEFORMAT#页，共10页1、（本小题5分）求极限limxt2x3-12x+162x3-9x2+12x-42、（本小题5分）求Jdx.（1+x2）23、（本小题5分）求极限limarctanx-arcsin丄4、（本小题5分）dx.5、（本小题5分）求卫-Jx\.-'1+12dt.dx06、（本小题5分）求Jcot6x-CSC4xdx.（第七题删掉了）8、（本小题5分）设一eC0SSt确定了函数y二y（x）,求学.Iy=e21sintdx9、（本小题5分）求J3xjl+xdx.010、（本小题5分）求函数y二4+2x-x2的单调区间11、（本小题5分）哥sinx,求J2dx.o8+sin2x12、（本小题5分）设x（t）二e-kt（3cos3t+4sinet），求dx.13、（本小题5分）设函数y=y（x）由方程y2+lny2=x6所确定，求吐.dx14、（本小题5分）求函数y二2ex+e-x的极值15、（本小题5分）求极限limxs+(10x+1)2(x+1)2+(2x+1)2+(3x+1)2+(10x-1)(11x-1)16、（本小题5分）求（__cos2xdx.1+sinxcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分）1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、（本小题7分）求由曲线y=宁和y=宁所围成的平面图形绕厲由旋转所得的旋转体的体积.三、解答下列各题（本大题6分）设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 f'（x）=0有且仅有三个实根.（答案）一、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分）1、（本小题3分）第PAGE\*MERGEFORMAT#页，共10页第5页,共10页解:原式=limxt23x2-126x2一18x+126x=limxT212x一18二22、（本小题3分）Jxdx(1+x2)2Jd(1+x2)(1+x2)211二一+c.21+x23、(本小题3分)因为|arctanx|4、<而limarcsin—=02xxT81故limarctanx-arcsin=0xTgx(本小题3分)Jxdx1-x_J1-x-1-J1-xdx_-Jdx+fdx1-x_—x—ln|1—x|+c.5、(本小题3分)求dJx\；1+12dt.dx0原式_2x^l+x46、(本小题4分)Jcot6x-CSC4xdx_-Jcot6x(1+cot2x)d(cotx)11_-cot7x-cot9x+c.798、(本小题4分)设F—◎coS"确定了函数y_y(x),求dy.Iy_e21sintdx解：dxe2t(2sint+cost)et(cos12—2tsin12)et(2sint+cost)(cos12—2tsin12)9、(本小题4分)求J3xv1+xdx.0令<1+x_u原式_2J2(u4—u2)du1_116-~1510、（本小题5分）求函数y二4+2x-x2的单调区间解.函数定义域（-a,+8）y'=2-2x=2（1-x）当x=1,y'=0当x<1,y'>0函数单调增区间为（-©1]当x>1,y'<0函数的单调减区间为1,+a）11、（本小题5分）sinxdx・8+sin2xdcosx9-cos2x1、3+cosx一一In63-cosxln212、（本小题6分）设x(t)=e-kt(3cos®t+4sin3t)，求dx・解.dx=x'(t)dt=e-kt1(4^-3k)cos®t-(4k+3®)sin®t]dt13、(本小题6分)设函数y=y(x)由方程y2+lny2=x6所确定，求变.dx2y'2yy'+=6x5yy，=壬y2+114、（本小题6分）求函数y=2ex+e-x的极值解：定义域(-8,+8),且连续y'=2e-x(e2x-)2驻点：x=丄ln-22由于y“=2ex+e-x>0故函数有极小值,y(*ln*)=2<215、(本小题8分)求极限lim(x+1)2+(2x+1)2+(3x+1)2++(10x+1)2xT8(10x-1)(11x-1)+(10+-)2x(1+-)2+(2+-)2+(3+-)2+原式=limXT8xxx(10--)(11_-)xx10X11X21x10x117216、（本小题10分）解Jcos2xdx=J一cos2x一dx1+sinxcosx1+1sin2x2d（丄sin2x+1）=（1+1sin2x2=ln1+丄sin2x+c2二、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分）1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.512设晒谷场宽为x,则长为512米，新砌石条围沿的总长为x512L=2x+——（x>0）x512L'=2—唯一驻点x=16x2L”=1024>0即x=16为极小值点x3512故晒谷场宽为16米，长为5—=32米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、（本小题8分）求由曲线y=竺和y=兰所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28x2x3解：=——,8x2=2x3x=0,x=4.2811V=』4x0x2(乂)2—(M)2dx=kJ4(乂—兰)dx28\”一0464TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark102"\o"CurrentDocument"=(1111)4—兀(—・—x5—・—x7)45647011512HYPERLINK\l"bookmark108"\o"CurrentDocument"—冗44(—)—冗5735三、解答下列各题(本大题10分)设f(x)—x(x—1)(x—2)(x—3),证明f'(x)—0有且仅有三个实根.第PAGE\*MERGEFORMAT#页，共10页第9页，共1o页4、第PAGE\*MERGEFORMAT#页，共10页证明:f(x)在(-a,+8)连续，可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)二f⑴二f⑵二f(3)二0则分别在[01],[12],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在ge(01),ge(12),ge(2,3)使f卷)二f卷)二f程)二0123123即nx)二0至少有三个实根,又f‘(x)=0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f，(x)有且仅有三个实根一、填空题(每小题3分，本题共15分)21、lim(1+3x)x=xT02、时,f(x)二在x二0处连续.x2+kx>03、dx设y二x+lnx，则=dy4、曲线y二ex-x在点(0,1)处的切线方程是5、若If(x)dx=sin2x+C,C为常数，则f(x)=二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1、若函数f(x)=一，则limf(x)二xA、0B、-1C、D、不存在2、列变量中,是无穷小量的为(1A.ln(xT0+)B.lnx(xT1)xC.cosx(xT0)D.xT2)3、满足方程f'(x)=0的x是函数y=f(x)的)．A.极大值点B.极小值点C.驻点D.间断点列无穷积分收敛的是()5、A、I+asinxdxB、I+ae-2xdx设空间三点的坐标分别为M(1,1,1)、AC、I+*1dx0xD、严丄dx2,2,1)、B(2,1,2)。则ZAMB=A、B、C、三、计算题(每小题7分，本题共56分)4+x—21、求极限hmxtosm2x112、求极限lim(—-)xtoxex—1cosxfe-t2dt3、求极限limxtox2I4、设y二e5+ln(x+\1+x2)，求y'5、设f二y(x)由已知x=ln(1+12)y=arctant+d2y求dx26、求不定积分f—sin(2+3)dxx2x7、求不定积分fexcosxdx8、1+ex1求f2f(x-1)dx0、1+x四、应用题(本题7分)求曲线y二x2与x二y2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题(本题7分)若f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)二f(1)二0，f(2)二1，证明：在(0,1)内至少有一点E，使f©)二1。参考答案一。填空题(每小题3分，本题共15分)x1、e62、k=1.3、4、y二15、f(x)二2cos2x1+x二．单项选择题(每小题3分，本题共15分)1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每小题7分）1.解：4+x-2x12x1lim=lim=—lim=—xtosin2xxtosin2xG4+x+2)2x^osin2xG'4+x+2)82.解lim』-L)二limex-1-x二lim口二lim竺二1xtoxex-1xtox(ex-1)xtoex-1+xexxtoex+ex+xex23、解：lim—xtox2-sinxe-cos2x=limxto2x_12e4、解：y'=(1+』)v1+x26、解丄21xxJexcosxdx=Jcosxdexd2ydx2-cos(-+3)+C2x7、解：=excosx+Jexsinxdx=excosx+Jsinxdex=excosx+exsinx-Jexcosxdx=ex(sinx+cosx)+C8、解：Jf(x-1)dx=J1f(x)dx=Jof(x)dx+J1f(x)dx…o-1-1o=Jodx+J1dx-11+exo1+x=Jo(1-上)dx+ln(1+x)1_i1+exo=1-ln(1+ex)|o+ln2-1二1+ln(l+e-1)二ln(l+e)四．应用题(本题7分)解：曲线y二x2与x二y2的交点为(1,1),于是曲线y二X2与x二y2所围成图形的面积A为1231A=J(\X一X2)dx=[—X2-X2]133。A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:V二兀J&y)2—y4dy二兀013=兀100五、证明题(本题7分)证明：设F(x)二f(x)一x，11显然f(x)在［2，1］上连续，在(㊁，1)内可导，且F(|)=1〉0，F(1)=一1<0.1由零点定理知存在X［"亍1］，使F(x)=0.121由F(0)二0，在［0,x1］上应用罗尔定理知，至少存在一点gw(0,x1)u(0,1)，使F崔)二f'(g)一1二0，即f隹)二1・・・