二次函数的图象与性质(一)夏黎明2010-08-31 [教学目标] 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [回顾及创新思维] 我们已经知道,一次函数y=2x+1,反比例函数y=的图象分别是___________、 ___________,那么二次函数y=x2的图象是什么呢? (1)描点法画函数y=x2的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时,y的值如何? (2)观察函数y=x2的图象,你能得出什么结论? [实践与探索] 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点? (1)y=2x2(2)y=−2x2 解 列表x…-3-2-10123…y=2x2…188202818…y=−2x2…-18-8-20-2-8-18… 分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1. 共同点:都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点. 不同点:y=2x2的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升. y=−2x2的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降. 回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知y=(k+2)是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大. (1)求k的值; (2)求顶点坐标和对称轴. 解(1)由
题
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意,得, 解得k=2. (2)二次函数为y=4x2,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴. 例3.已知正方形周长为Ccm,面积为Scm2. (1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2. 分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意,得. 列表:C2468…14… 描点、连线,图象如图26.2.2. (2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm. (3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4cm2. 回顾与反思 (1)此图象原点处为空心点. (2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y. (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
] 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) (2) (3) 2.(1)函数的开口___________,对称轴是___________,顶点坐标是___________; (2)函数的开口___________,对称轴是___________,顶点坐标是___________. 3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图. [本课课外作业]A组 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. (1) (2) 2.填空: (1)抛物线,当x=___________时,y有最___________值,是___________. (2)当m=___________时,抛物线开口向下. (3)已知函数是二次函数,它的图象开口___________,当x___________时,y随x的增大而增大. 3.已知抛物线中,当时,y随x的增大而增大. (1)求k的值; (2)作出函数的图象(草图). 4.已知抛物线经过点(1,3),求当y=9时,x的值.B组 5.底面是边长为x的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8cm3时底面边长x的值;(4)根据图象,求出x取何值时,y≥4.5cm3. 6.二次函数与直线交于点P(1,b). (1)求a、b的值; (2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小. 一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M(-2,2). (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象; (2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出ΔMON的面积.