秒杀高考
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题型之空间角【秒杀题型一】：异面直线所成的角。『秒杀策略』：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①初等方法：作出角(平行移动直线使其成为相交直线所成的角。)放到三角形中解三角形(非直角三角形主要考虑余弦定理。)如果求出余弦值为负变为正，因为异面直线所成角为锐角或直角，范围：。=2\*GB3\*MERGEFORMAT②向量法：把两条异面直线对应的方向向量转化为基础向量(这些向量的模与夹角已知。)的和，利用数量积计算。=3\*GB3\*MERGEFORMAT③坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标与数量积计算。1.(2014年新课标全国卷II11)直三棱柱，，分别是,的中点，，则与所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】：方法一：如图，作，设，则，，，，选C。方法二：向量法：，，=，选C。方法三：以C为坐标原点，以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出坐标代入公式。2.(2016年新课标全国卷=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI11)平面过正方体的顶点，平面，平面=，平面，则所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】：如图，，所成的角为，选A。3.(2017年新课标全国卷=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII10)已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】：如图作出角，利用余弦定理得C；或建立空间直角坐标系。4.(2017年新课标全国卷=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII9)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】：建立空间直角坐标系，由向量得，选C。【秒杀题型二】：线、面所成的角。『秒杀策略』：定义：平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作直线与平面所成的角，常用方法：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①关键找线在平面上的射影，线与面所成角中如果角难以作出时，可直接求点到平面的距离(可利用等体积的方法求出距离，然后求出角。)，在线与面所成角中，角一定在直角三角形中，一般求这个角的正弦。=2\*GB3\*MERGEFORMAT②已知直线的方向向量为，平面的法向量为，当时，直线与的夹角等于；当时，直线与的夹角等于。1.(2008年新课标全国卷18)如图，已知点在正方体的对角线上，。（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的大小。ABCDP【解析】：如图，以为原点，为单位建立空间直角坐标系，则，连结，在平面中，延长交于，设，由已知，由，可得，解得，所以。（1），。（2）平面的一个法向量是，，，与所成的角为。ABCDPxyzH2.(2015年新课标全国卷=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI19)如图,长方体,中,点分别在,上,,过点的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】：（1）在上取,使,同时取,得正方形;（2）.3.(2018年新课标全国卷=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII20)如图,在三棱锥中,,,为的中点．（1）证明:平面;（2）若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值．【解析】：（1）略；（2）.【秒杀题型三】：二面角的考查。『秒杀策略』：定义:在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则为二面角的平面角,范围:;常用方法有三种:ⅰ.三垂线定理法：根据三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角;ⅱ.根据特殊图形作出二面角的平面角：①两个等腰三角形共用一条边,取公共边的中点,然后连接两三角形的顶点,即为二面角的平面角;②两个全等三角形共用一条边,过其中一个顶点向公共边作垂线,然后连接垂足与另一个顶点所成角为二面角的平面角;ⅲ.已知平面和的法向量分别为和,利用数量积得到。求平面法向量秒杀公式：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①平面内两向量坐标分别为:,则平面法向量(注意运算特点,十字相乘作差)=2\*GB3\*MERGEFORMAT②平面与空间直角坐标系坐标轴的交点(截距)分别为:,则平面的方程为(类比直线的截距式方程):,此平面的法向量.如果平面与某坐标轴平行,则法向量对应的坐标为0.(2011年新课标全国卷18)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,,.⊥底面.（1）证明:；（2）若,求二面角的余弦值.【解析】：（1）(解三角形),,所以⊥平面,即;（2）.2.(2012年新课标全国卷18)如图,直三棱柱中,,是棱的中点，.（1）证明:;平面平面;（2）求二面角的大小;（3）平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【解析】：（1）由题设知,三棱柱的侧面为矩形,由于为中点,故,又,可得,所以,而,,所以平面,平面,故,平面平面;（2）;（3）设棱锥的体积为,,得.又三棱柱的体积为,所以体积之比为.3.(2018年新课标全国卷=3\*ROMAN\*MERGEFORMATIII19)如图,边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点．（1）证明:平面平面;（2）当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值．【解析】：（1）平面，（2）.
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