高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 Word版含答案

第三章三角恒等变换§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1　两角差的余弦公式课时目标　1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝(　　)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．0D．12．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得(　　)A．cosαB．cosβC．cos(2α＋β)D．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得(　　)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)4．若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)5．若sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(11\r(5),25)D.eq\r(5)6．若sinα＋sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)的值为(　　)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4)D．1题　号123456答　案二、填空题7．cos15°的值是________．8．若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α、β均为锐角，求cosβ的值．12．已知cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，eq\f(π,2)<α－β<π，eq\f(3π,2)<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(1,9)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(2,3)，且eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，求coseq\f(α＋β,2)的值．14．已知α、β、γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1　两角差的余弦公式答案知识梳理cosαcosβ＋sinαsinβ作业 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 1．C　2.B3．A　[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝eq\f(1,2).]4．C　[sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)(－eq\f(π,2)<α－β<0)．sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)·eq\f(\r(5),5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).]5．B　[∵sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(3,5)，θ是第二象限角，∴cosθ＝－eq\f(4,5).∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－eq\f(2\r(5),5)，∴cosφ＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，∴sinφ＝－eq\f(\r(5),5).∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq\f(\r(5),5).]6．B　[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋sinβ＝1－\f(\r(3),2)　　　①,cosα＋cosβ＝\f(1,2)②))①2＋②2⇒cos(α－β)＝－eq\f(\r(3),2).]7.eq\f(\r(2)＋\r(6),4)8.eq\f(8,3)解析　原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).9．－eq\f(1,2)解析　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋sinβ＝－sinγ　　　①,cosα＋cosβ＝－cosγ②))①2＋②2⇒2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1⇒cos(α－β)＝－eq\f(1,2).10．－eq\f(π,4)解析　∵α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，∵sinα0，∴eq\f(π,2)<α－eq\f(β,2)<π，0<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2).∴sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2α－\f(β,2))＝eq\f(4\r(5),9).cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2\f(α,2)－β)＝eq\f(\r(5),3).∴coseq\f(α＋β,2)＝cos[(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)]＝cos(α－eq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)－β)＋sin(α－eq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)－β)＝(－eq\f(1,9))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27).14．解　由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，∴β－α＝±eq\f(π,3).∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝eq\f(π,3).