完整word版高中数学椭圆题型归纳

Fpg高中数学椭圆 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型归纳一．椭圆の标准方程及定义1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P到另一个焦点の距离为（）A．2B．3C．5D．72、已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数mの值为．3．求满足下列条件の椭圆の标准方程（1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，）（2）经过两点（2，），（）4．求满足下列条件の椭圆方程：1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．5．设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为．FpgFpg二、离心率1、已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．2．设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（）A．B．C．D．3．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]三、焦点三角形1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°．①求△PF1F2の周长②求△PF1F2の面积．FpgFpg2．已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．1）求椭圆方程；2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；3）试探究椭圆上是否存在一点P，使?=0，若存在，请求出点Pの坐标；若不存在，请说明理由．四、弦长问题1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围．2）求被椭圆截得の最长弦の长度．2、设F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜率为1の直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．1）求Eの离心率；2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程．五、中点弦问题1、已知椭圆+=1の弦ABの中点Mの坐标为（2，1），求直线ABの方程，并求ABの长．FpgFpg六、定值、定点问题2221、已知椭圆C：9x+y=m（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为M．1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由．七、对称问题1．已知椭圆方程为，试确定mの范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．FpgFpg高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2016春?马山县期末）已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P到另一个焦点の距离为（）A．2B．3C．5D．7【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离dの等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆の定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆の定义．在解决涉及到圆锥曲线上の点与焦点之间の关系の问题中，圆锥曲线の定义往往是解题の突破口．2．（2015秋?友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，FpgFpg根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆の离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=a上一点∴2（a﹣c）=2ce==故选：B．【点评】本题考查椭圆の几何性质，解题の关键是确定几何量之间の关系，属于基础题．3．（2016?衡水模拟）已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【分析】由直角三角形の判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1FpgFpg⊥PF2，运用双曲线の定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，e=可得1＜e≤，故选：C．【点评】本题考查双曲线の离心率の范围，注意运用双曲线の定义和直角三角形の性质，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共3小题）4．已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数mの值为4或．【分析】由题设条件，分椭圆の焦点在x轴上和椭圆の焦点在y轴上FpgFpg两种情况进行讨论，结合椭圆中a2﹣b2=c2进行求解．【解答】解：∵椭圆の标准方程为，椭圆の焦距为2c=6，c=3，2∴当椭圆の焦点在x轴上时，25﹣m=9，解得m=4；2当椭圆の焦点在y轴上时，m﹣25=9，解得m=．综上所述，mの取值是4或．故答案为：4或【点评】本题考查椭圆の简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想の合理运用．5．（2016?漳州一模）设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为．【分析】由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，FpgFpg故答案为：15．【点评】本题考查椭圆の定义，考查学生分析解决问题の能力，属于基础题．6．已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．【分析】根据题意，点P即在已知椭圆上，又在以F1F2为直径の圆上．因此以F1F2为直径の圆与椭圆有公式点，所以该圆の半径c大于或等于短半轴bの长度，由此建立关于a、cの不等式，即可求得椭圆离心率の取值范围．【解答】解∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径の圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径の圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆の焦点∴以F1F2为直径の圆の半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2c2≥a2﹣c2?2c2≥a2两边都除以a2，得2e2≥1，e≥，结合0＜e＜1，≤e＜1，即椭圆离心率の取值范围是[，1）．FpgFpg故答案为：[，1）．【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90度の情况下，求椭圆の离心率，着重考查了椭圆の基本概念和解不等式の基本知识，属于中档题．三．解答题（共9小题）7．（2013秋?琼海校级月考）已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°．①求△PF1F2の周长②求△PF1F2の面积．【分析】①根据椭圆の方程求得c，利用△PF1F2の周长L=2a+2c，即可得出结论；②设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2の值，最后利用FpgFpg三角形面积公式求解．【解答】解：①∵a=5，b=3，∴c=4∴△PF1F2の周长L=2a+2c=18；②设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆の定义可得：t1+t2=10在△F1PF2中∠F1PF2=60°，2t1+t2﹣2t1t2?cos60°=28，可得t1t2=12，∴==3．【点评】解决此类问题の关键是熟练掌握椭圆の标准方程、椭圆の定义，熟练利用解三角形の一个知识求解问题．8．（2015秋?揭阳月考）已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．1）求椭圆方程；2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；3）试探究椭圆上是否存在一点P，使?=0，若存在，请求出点Pの坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点の坐标和离心率得b=，根据a2=b2+c2求出aの值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出の椭圆标准方程，求出点M纵坐标の范围，即求FpgFpg出三角形面积の最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量の数量积得?，根据椭圆の焦距和椭圆の定义列出两个方程，求出Sの值，结合（2）中三角形面积の最大值，判断出是否存在点P．【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为+=1，由已知得，b=．（2分）则e2===1﹣=，解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为+=1（5分）（2）令M（x1，y1），则S=|F1F2|?|y1|=?2?|y1|=|y1|（7分）∵点M在椭圆上，∴﹣≤y1≤，故|y1|の最大值为，（8分）∴当y1=±时，Sの最大值为．（9分）3）假设存在一点P，使?=0，∵≠，≠，∴⊥，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①（11分）又∵|PF1|+|PF2|=2a=2②（12分）2﹣①，得2|PF|?|PF|=20，∴|PF|?|PF|=5，（13分）∴②1212FpgFpg即S=5，由（1）得S最大，故矛盾，∴不存在一点P，使?=0．（14分）【点】本考了方程の求法以及の性、向量数量の几何意，利用a、b、c、e几何意和a2=b2+c2求出a和bの，根据上点の坐范求出相三角形の面最，即根据此范判断点P是否存在，此合性，涉及の知多，考了分析和解决の能力．9．（2015秋?葫芦校月考）求足下列条件のの准方程（1）焦点分（0，2），（0，2），点（4，）（2）两点（2，），（）【分析】（1）出の准方程，代入点の坐，合c=2，即可求得の准方程；2）出の准方程，代入点の坐，即可求得の准方程．【解答】解：（1）依意，所求方程=1（a＞b＞0）因点（4，3），在上，又c=2，得，解得a=6，b=4⋯（10分）故所求の方程是=1；（2）方程mx2+ny2=1，FpgFpg∵经过两点（2，），（），∴，∴，n=，∴椭圆方程为=1．【点评】本题考查椭圆の标准方程，考查学生の计算能力，属于基础题．10．（2012秋?西安期末）求满足下列条件の椭圆方程：1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，cの关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；22）设椭圆方程为mx+ny=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；3）讨论椭圆の焦点の位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，cの关系解得b，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，FpgFpg即有椭圆方程为+=1；2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．【点评】本题考查椭圆の方程和性质，主要考查椭圆の方程の求法，注意运用椭圆の方程の正确设法，以及椭圆性质の运用，属于基础题．11．（2010?宁夏）设F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜率为1の直线?与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．FpgFpg1）求Eの离心率；2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程．【分析】（I）根据椭圆の定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线lの方程，1122y，根据设A（x，y），B（x，y），代入直线和椭圆方程，联立消去韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和bの关系，进而求得a和cの关系，离心率可得．（II）设ABの中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PNの斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆の方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，lの方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简の（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以Eの离心率FpgFpg（II）设ABの中点为N（x0，y0），由（I）知，．|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，即c=3，从而故椭圆Eの方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中の椭圆性质以及直线与椭圆の位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题の能力及运算能力12．（2014春?广水市校级月考）已知椭圆+=1の弦ABの中点Mの坐标为（2，1），求直线ABの方程，并求ABの长．【分析】首先，根据椭圆の对称轴，得到该直线の斜率存在，设其方程为y﹣1=k（x﹣2），然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数の关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率kの值，然后，利用两点间の距离公式或弦长公式，求解ABの长．【解答】解：当直线ABの斜率不存在时，不成立，故直线ABの斜率存在，设其方程为y﹣1=k（x﹣2），FpgFpg联立方程组，消去y并整理，得1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，∴x1+x2=﹣，∵，2k（2k﹣1）=1+4k2，k=﹣，∴直线ABの方程：x+2y﹣4=0．k=﹣代人（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，得x2﹣4x=0，解得x=0，x=4，∴A（0，），B（4，﹣），∴|AB|=．ABの长2．【点评】本题属于中档题，重点考查了椭圆の简单几何性质、直线与椭圆の位置关系、弦长公式、两点间の距离公式等知识，属于高考の热点和重点问题．22213．（2015?新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x+y=m（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为M．（1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；FpgFpg（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应の直线斜率即可得到结论．2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），Bx2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入22222229x+y=m（m＞0），得（k+9）x+2kbx+b﹣m=0，222220，则判别式△=4kb﹣4（k+9）（b﹣m）＞则x+x=，则x==，y=kx+b=，12MMM于是直线OMの斜率k==，OM即kOM?k=﹣9，∴直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值．2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），22222∴由判别式△=4kb﹣4（k+9）（b﹣m）＞0，2222即km＞9b﹣9m，∵b=m﹣m，2222∴km＞9（m﹣m）﹣9m，即k2＞k2﹣6k，FpgFpgk＞0，∴l不过原点且与C有两个交点の充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OMの方程为y=x，设Pの横坐标为xP，由得P，，即x=将点（，m）の坐标代入lの方程得b=，即lの方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，ki＞0，ki≠3，i=1，2，∴当lの斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线の相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间の关系是解决本题の关键．综合性较强，难度较大．FpgFpg14．（2013秋?阜城县校级月考）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围．2）求被椭圆截得の最长弦の长度．【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成の方程组有解，等价于消掉y后得到xの二次方程有解，故△≥0，解出即可；2）设所截弦の两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于mの函数，根据函数表达式易求弦长最大值；【解答】解：（1）由22得：5x+2mx+m﹣1=0，当直线与椭圆有公共点时，△222=4m﹣4×5（m﹣1）≥0，即﹣4m+5≥0，解得﹣≤m≤，所以实数mの取值范围是﹣≤m≤；（2）设所截弦の两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，x1+x2=﹣，x1x2=，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=?=?=2×，当m=0时|AB|最大，最大值为：．【点评】本题考查直线与圆锥曲线の位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目の基础知识，应熟练掌握．FpgFpg15．（2012秋?裕华区校级期中）已知椭圆方程为，试确定mの范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．【分析】根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分，从而可得直线ABの斜率k=﹣，直线AB与椭圆有两个交点，且ABの中点M在直线y=4x+m，可设直线ABの方程为y=，联立方程整理可得13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0可求中点M，由△=64b2﹣4×13×16（b2﹣3）＞0可求bの范围，由中点M在直线y=4x+m可得m，bの关系，从而可求mの范围【解答】解：设椭圆上关于直线y=4x+m对称の点A（x1，y1），B（x2，y2），则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分．可得直线ABの斜率k=﹣，直线AB与椭圆有两个交点，且ABの中M（x0，y0）在直线y=4x+m，故可设直线ABの方程为y=，整理可得13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0，所以，，由△=64b2﹣4×13×16（b2﹣3）＞0可得，所以代入直线y=4x+m可得m=FpgFpg所以，．【点评】本题主要考查了直线与椭圆の位置关系の应用，解题の关键是灵活应用已知中の对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m上建立m，b之间の关系，还要注意方程の根与系数の关系の应用．Fpg