第1章1.4二次函数二次函数与一元二次方程的联系1.二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系(1)如果抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax＋bx＋c＝0的一个根．22(2)抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系：22两两个不相等两个相等实数一2.图象法求解一元二次方程用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程和二元一次方程组的方法，也在坐标系中画出二次函数图象求一元二次方程的解．
知识点
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二次函数与一元二次方程的关系21.已知二次函数y＝kx－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(B)7A．k>47C．k≥47B．k≥－4且k≠07D．k>－4且k≠02.(2018·襄阳)已知二次函数y＝x2－x＋14m－1x轴有交点，则m的取值范围是(A)A．m≤5B．m≥2C．m<5D．m>2的图象与3.抛物线A)A．3C．1y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是B．2D．0(4.关于x的方程mx＋mx＋5＝m有两个相等的实数根，则相应的二次函数y＝mx＋mx＋5－m与x轴交点的个数为1，此时m＝4．22知识点一元二次方程的图象解法25.二次函数y＝x－5x＋5的图象如图所示，则方程x2－5x＋5＝0的两个解，一个在1和2之间，在3和4之间．另一个6.二次函数y＝ax＋bx＋c中，自变量x与函数y的对应值如下表：113x－1－01222252321177y－2－121－－24444(1)二次函数图象的开口方向是向下，它的顶点坐标是(1，2)；(2)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常③(填序号)．数)的两个根x1，x2的取值范围是2131①－2＜x1＜0，2＜x2＜2；②－1＜x1＜－2，2＜x251513＜2；③－2＜x1＜0，2＜x2＜2；④－1＜x1＜－2，2＜x2＜2.7.二次函数y＝x－x－2的图象如图所示，则不等式x－x－2＜0的解集是(C)22A．x＜－1C．－1＜x＜2B．x＜2D．x＜－1或x＞28.(2018·遂宁)已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是(C)2?A．??abc>0??b2－4ac<0?C．??abc>0??a＋b＋c<0?B．??abc<0??2a＋b>0?D．??abc<0??b2－4ac>0，59.若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点0)，且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx(D)A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝5(2＝的解为10.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则点2A(b2－4ac，－ba)在第四象限．11.(2018·孝感)如图，抛物线y＝ax与直线y＝bx＋c2A(－2，4)，B(1，bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1．，则方程ax2的两个交点坐标分别为1)＝12.如图，是二次函数y＝ax＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax＋bx＋c＜0的解集是－1＜x＜3．2213.(2018·荆门节选)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于原点及点A，且经过点B(4，8)，对称轴为直线x＝－2.2(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别111为x1，x2(x1
0，即m>－3时，该函数的图象与x轴的上方．y轴y轴的交点的纵坐标是交点在15.(2018·枣庄)如图是二次函数y＝ax＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是(D)2A．b＜4acC．2a－b＝02B．ac＞0D．a－b＋c＝0【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b－4ac>0，即b>4ac，∴A错；∵抛物线开口向上，且与y轴的交点在y轴下方，∴a>0，c<0，∴ac<0，∴B错；∵对称b轴为直线x＝1，∴－2a＝1，即2a＋b＝0，∴C错；∵抛物线过点A(3，0)，且对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，∴a－b＋c＝0，∴D正确．2216.(2018·杭州)设二次函数y＝ax＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.2解：(1)当y＝0时，ax＋bx－(a＋b)＝0(a≠0)．因为Δ＝b＋4a(a＋b)＝(2a＋b).所以，当2a＋b＝0，即Δ＝0时，二次函数图象与x轴有1个交点，当2a＋b≠0，即Δ>0时，二次函数图象与x轴有2个交点．222(2)当x＝1时，y＝0.∴函数图象不可能经过点C(1，1)．∴函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)两点．?a－b－（a＋b）＝4，∴?解得a＝3，b＝－2.?－（a＋b）＝－1.∴二次函数的表达式为y＝3x－2x－1.(3)证明：∵P(2，m)在该二次函数图象上，∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b，∵m>0，所以3a＋b>0，又∵a＋b<0，∴2a＝3a＋b－(a＋b)>0.∴a＞0.2
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