」[M][K]|=0(7—14)第七章多自由度系统的复模态理论基础§7.1概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一：[M][C「[K]=[K][C]」[M][C][M]」[K]=[K][M「[C](7-1)[M][K「[C]=[C][K]」[M]则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动
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，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对丁一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。§7.2复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：[m]{x'}+[c]{xj+[k]{x}={0}(7-2)设其解为：{x}={平}e'J(7-3)代入方程(7—2)得到：(X[m]+Mc]+[k]){9}=[D0)]{平}={0}(7—4)矩阵[D(Q]称为系统的特征矩阵。方程(7-4)是一个“二次特征值”问题，要(7-4)式有非零解的充要条件为：|[D0)]=|烂啊顼[c]+[k]|=0(7-5)上方程是一个关丁舄的2n次代数方程，有2n个特征根%(i=1,2，…2n),通常揭都是复数，由丁阻尼矩阵的正定性，而且由丁质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，篮一定具有负的实部，且共钥成对出现。与复特征值对应的特征欠量也都是共轴复数形式。每一对共轴复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以
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示为：｛x（t）｝r=｛平｝re引（r=1,2，…2n）（7—6）系统的2n个复模态一一复特征欠量｛V*,可以构成一个在系统位形空间的n><2n阶的矩阵，称为复模态矩阵：凹=彦｝1｛平｝2…｛甲｝2n］（7-7）由丁系统在位形空间中的物理坐标只有n个，而复模态却有2n个，所以不能用（7-7）的复模态矩阵［平］对（7—1）中的｛x｝进行坐标变换，来对方程（7-1）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（7-1）式转换到状态空间:其中:[M](y)[K](y)={F(t)}{x){XL{F(t))=〈{0}、{f(t))[0][m][M]=|jm][c]一[K]」-[m]一一[0][0]1[J｛y）称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为:[M]{y)[K]{y)={0}设其特征解为：{y(t))=0*代入方程(7—11),得到：(」[M][K]){甲)={0}(7-8)(7-9)(7—10)(7-11)(7—12)(7—13)其特征方程为:s[M]ff}s[K]ff}s={0}(7-24)将[M],[K]的定义式代入:「[0][m]]十一-[m][0]]=-[m]*m][c]『![0][k]J=H[m]Hm]Hc]+[k]=0(7—15)即::[m]*2[m]+H[c]+[k]=0(7—16)由丁[m]正定，所以有:(7—17)E2[m]+珂c]+[k]=0与（7—4）比较可知:(7—18)故（7—12）式可以写为:乂因为:所以有:(7—19){y"(7-20)时}](7-21)即在状态空间中，对应丁复特征根7%的特征向量为:Rr{W"f}r:(7-22)它被定义为系统在状态空间中的第r阶复模态。§7.3复模态的正交性及其归一化对应丁复特征对（人，^｝「），（妃性｝,），系统的特征方程分别为:r[M]｛'】‘｝r[K]｛甲｝「=｛0｝(7-23)用仔｝;左乘（7—23）式，并用性｝:左乘（7—24）式并转置得到:U】，｝；[M]E｝「E｝；[K]3*=0(7-25)、｛甲｝；[M"｝"E｝；[K"｝r=0(7-26)上两式相减得到:□-心性｝;[M]性｝「=0(7-27)由此得到复模态性｝对［M］和［K］的加权正交关系如下:(7-28)仔｝T[M叩｝r=0当…｛'】‘｝亦]｛宇｝「=0(7-29)且有~~%r=一’r-'lr(7-30)而:令:rf｝r[0]L^｝JJm]:[0][m]仍也「,J[cH^｝r:=2"｝：问｛'-｝"｛'｝：”]｛'｝「"[M]3r=」(7-31)｛—"[Mm=1(7-32)并将（7—31）式做为复模态的归一化条件，｛中吊「为第r阶归一化复模态。显然，对丁［K］阵有:｛"｝；*]｛%｝「=，r(7-33)§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵:［】，］=｛】｝｛】｝广｝」(7-34)对状态向量｛y｝进行模态坐标变换;(7-35)将（7—35）代入（7—8）,并前乘^]T得到2n个完全解耦的方程:~~~diag([n]){z}diag([K]){z}={F(t)}其中，〜Tdiag[：.I』]t[M『]〜Tdiag[Kr]=[】「]T[K『](F(t)}=[】「]T{F(t)}或写成：~■〜〜…FrZrKrZr=R(t)(r=1,2,2n)因为：■〜・〜Kr=r-Tr所以：1〜Zr-rZr-〜~Fr(t)「'Ir而：|〜(t)=爬}T{F(t)}=[丸{平}T{平}T]』{0}]=N}T{f(t)}:r3V}rVV)}[r{}r{}r]{f(t)}〕{}r{v-)}在零初始条件下，(7-40)的解为：("％.+"}*()"-%.-盘r因为：/IJx}：]幻{甲}]{y}="T]{z(t)}=%}{z(t)}(7-36)(7—37)(7-38)(7-39)(7-40)(7-41)(7-42)(7-43)其中,[]=diag[』所以:2n2n1t(7-44)=、{'-}r—or}J{f(t)}er(^)d.)JMr0=£{w}f}「j{f(t)"%r」Mr当激励力为复简谐力时,则:(f(t)}={f}ebt(7-45)(7-46)(7-47)e用项代表随时间衰减的自由振动项，因此，如果只考虑稳态响应，贝U:
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