中考专项复习锐角三角函数【优质PPT】

第二十三讲锐角三角函数一、三角函数的定义在Rt△ＡBC中,∠C=９０°,∠A,∠B,∠C的对边分别为ａ，b,c,则sｉnＡ=,cosＡ=,tａｎA=.二、特殊角的三角函数值α3０°45°60°sｉｎα_＿＿_＿_＿_＿cosα____＿＿_＿_tａnα__＿_＿＿＿__1三、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系:_____＿__.2.两锐角之间的关系：__＿＿_＿_______．3．边角之间的关系:ｓinA＝cｏsB=__,ｓｉnB＝cosA=＿_,ｔanA=＿_，tanB＝＿_.a2+b2=c２∠A+∠B=90°四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角：如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线___＿_的叫做仰角,在水平线_＿___的叫做俯角.上方下方2．坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和＿＿__＿_＿__之比叫做坡度（或叫做坡比),用字母＿_ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,即i=＿_；坡面与＿＿_＿＿＿_的夹角叫做坡角,记作α．所以i=__=tａnα.水平宽度li水平面３．方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于９０°的角叫做方位角.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.锐角三角函数是一个比值.(　）2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也扩大３倍.(　)3.由cｏｓα=　,得锐角α=60°.(　）√×√4．锐角α的正弦值随角度的增大而增大.　（）５.锐角α的余弦值随角度的增大而增大.(　)6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比．　(）7.解直角三角形时,必须有一个条件是边.　(　）√××√考点一求三角函数值【例1】(２017·怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4)，那么siｎα的值是(　　)世纪金榜导学号1６1０4353【思路点拨】作AＢ⊥x轴于点B,先利用勾股 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 计算出ＯA=5,然后在Rｔ△AOＢ中利用正弦的定义求解.【自主解答】选C.作AB⊥x轴于点B,如图,∵点A的坐标为(3，4),∴ＯＢ＝3,AB=4,∴ＯA＝　＝5，在Rt△ＡOB中，ｓinα=【名师点津】根据定义求三角函数值的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1)分清直角三角形中的斜边与直角边．(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个角的三角函数值时，若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角．【题组过关】1.（２017·湖州中考)如图，已知在Ｒt△ＡＢC中,∠C=90°，ＡB=5,BC＝3,则cosB的值是(　)２.(2017·金华中考)在Ｒｔ△ABＣ中，∠C=90°,ＡB＝５,　BC=3,则tａnA的值是　(　)【解析】选A．在Rｔ△ＡBC中,根据勾股定理,得AC=再根据正切的定义,得taｎA＝３.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中，ＡC⊥BC，∠ABＣ=30°，点D是ＣB延长线上的一点,且BD=BＡ,则ｔａn∠DＡC的值为世纪金榜导学号1６10４35４()【解析】选Ａ.设AC=a,则AＢ＝ａ÷sin3０°=２a,ＢC=a÷tａn30°=　a,ＢD=AＢ=2a.∴ｔan∠DＡC=4.(２０1７·泸州中考)如图，在矩形ＡBＣＤ中，点E是边ＢＣ的中点,AE⊥BD,垂足为F，则tａn∠BDE的值是()【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BＣ，AD∥BＣ,∵点Ｅ是边ＢC的中点,∴BE=　　ＢC＝　　AD，∴△BEF∽△ＤAF,∴∴EF＝　AＦ,∴EF=　AE,∵点Ｅ是边ＢC的中点,∴由矩形的对称性得:AE＝DE,∴ＥＦ＝　DＥ,设EF＝x,则ＤＥ=3ｘ，∴DF=∴ｔan∠BDＥ＝考点二　特殊锐角三角函数值的应用【例2】已知α，β均为锐角,且满足=0，则α+β＝_＿___＿__.【思路点拨】根据非负数的性质求出ｓinα,tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.【自主解答】∵　　　　　　　=0,∴sinα＝　，taｎβ=１,又∵α,β均为锐角,∴α＝３0°,β＝４5°,则α+β＝3０°+45°=７5°． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :75°【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:3０°,4５°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,　余弦的分子分别是　　１,正切分别是(２)特殊值法:①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为１,那么三边长分别为1,,2;②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,１,　．【题组过关】１.(2０17·天津中考)cos60°的值等于(　　)【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60°＝　.2.(2016·无锡中考)ｓiｎ3０°的值为(　)【解析】选A.sin3０°=3.(2017·六盘水中考)三角形的两边a,b的夹角为６0°且满足方程x2-3ｘ＋4＝０,则第三边长的长是　(　)世纪金榜导学号１610435５【解析】选A.解方程x2－3　x+4=0,得x1=2　,x２＝　　,假设a＝2　,b=　,如图所示,在直角三角形ＡCＤ中,CD=coｓ60°=　　，DB=2　　-＝　,ＡD=　sｉn60°=,∴ＡＢ＝4．(2015·庆阳中考)在△ＡBＣ中,若角A,B满足＋(1-taｎB)2＝０,则∠C的大小是　(　）A．45°B.６0°C.７５°ﻩＤ.１05°【解析】选D．由题意得,cosA=　,tａnB＝1，则∠A=30°，∠B=45°,则∠Ｃ=180°－30°-45°=10５°.考点三　　解直角三角形【例3】(20１6·连云港中考）如图,在△ABC中,∠Ｃ=15０°，AC＝4，tanB=.　世纪金榜导学号161０４356(1)求BＣ的长.(2）利用此图形求tａn15°的值（精确到0.１,参考数据:　≈1．4，　　≈1.7，　≈2.２)【思路点拨】(1)过点A作AD⊥BC交BC的延长线于D.由∠ACB的度数→∠ACD的度数→AC＝4→AD的长→CD的长→tanＢ=　→ＢD的长→BC的长.（2）在BＣ边上取M,使ＣM＝AC，连接AM→∠AＭC=∠MAC=１5°→tan15°＝　→化简→得结论.【自主解答】(１）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D,如图1所示:在Rｔ△ＡDC中,AＣ=4，∵∠ACＢ=1５０°,∴∠AＣＤ=30°,∴ＡＤ=AC=２，CD＝ＡC·cｏs３0°=４×在Ｒt△ＡBＤ中,ｔanB=∴ＢD=16,∴BC=BD-CD=16-(2)在BC边上取一点M,使得CＭ＝AC，连接AM,如图2所示:∵∠ACB=1５０°,∴∠AMＣ=∠MAC=15°,ｔａn15°=tan∠AＭD=≈0．2７≈0．３.【名师点津】解直角三角形的类型及方法(1）已知斜边和一个锐角(如c,∠A）,其解法:∠Ｂ=90°-∠A,a=ｃsinA，b=ｃｃoｓA(或b=　　　　).（2)已知一直角边和一个锐角（如ａ,∠Ａ），其解法:∠B＝90°-∠Ａ,c=　　,b=　(或ｂ＝)．(3)已知斜边和一直角边(如c，a),其解法:ｂ=　　,由sｉnA＝求出∠A,∠B=９0°-∠Ａ.（４)已知两条直角边a和b,其解法:ｃ＝　　,由tanA=得∠A，∠B=90°－∠A.【题组过关】1．(２０１７·烟台中考)在Ｒt△ABＣ中,∠C＝90°,AB=2,BC=　,则sｉｎ　=____＿___＿＿.【解析】在Ｒt△ＡBC中,∠Ｃ=９0°，AＢ=２，BC=,∴sｉｎA=　,∴∠A＝6０°，∴sin　=　　　.答案:2.(201７·广州中考)如图,Rt△ABC中,∠C=９0°,　BC=15，ｔａnA=,则AB=_＿______________.世纪金榜导学号1６1０4３５7【解析】因为ＢC=15，tanA=　　　,所以AC=8，由勾股定理得，AB=17.答案:１７3.(201６·上海中考）如图,在Ｒt△AＢC中，∠ACＢ=9０°,AC=BC=3,点Ｄ在边AC上,且AD=2CＤ，DE⊥ＡB,垂足为点Ｅ,连接CE,求：　世纪金榜导学号1６1043５8(1)线段BＥ的长.(2)∠ＥCB的余切值.【解析】（1)∵AＤ=２CD，AC=3,∴AＤ=2．在Rｔ△ABＣ中,∠ＡCB=90°,AＣ=ＢC=3,∴∠Ａ=45°，AＢ=∵ＤE⊥AB,∴∠AED=９0°，∠ADＥ=∠A=４５°,∴AE＝ＡD·cos4５°=　　．∴BE=AＢ-AE=２　，即线段ＢE的长是2　　.（2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H,在Rt△ＢＥH中,∠EHB=90°,∠B=４5°，∴EＨ=ＢH=EB·ｃoｓ4５°=2,又ＢC=3,∴CH＝１.在Rt△ECH中,cot∠ＥＣB＝　　　即∠EＣB的余切值是.考点四解直角三角形的应用【考情分析】　　利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题的题型通常以解答题为主，利用直角三角形求物体的高度（宽度）,解决航海问题等.命题角度１:利用直角三角形解决和高度(或宽度）有关的问题【例４】(2017·鄂州中考)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走３米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达Ｃ处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为４5°.已知Ａ点离地面的高度ＡB=2米，∠BCA=30°,且Ｂ,C，Ｄ三点在同一直线上.(1）求树DE的高度.(２)求食堂ＭN的高度.【思路点拨】(1）先在△ＡBC中求ＡＣ的长,再求出∠ACＥ=90°,在△ACE中求CＥ的长,最后在△ＣDE中求DE的长.（２)延长ＮM交BC于点G.先求GB,BC,CD的长，得到ＧＤ的长，再在△DNG中求NG的长,最后求MN的长.【自主解答】(1)由题意,得AF∥BC.∴∠FAC=∠BCＡ＝3０°.∴∠EＡC=∠EＡF+∠CＡＦ=3０°+３0°=60°．∵∠ＡCE=180°-∠BCA－∠DCE=180°-30°-60°＝9０°.∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ＡＣＥ=１８0°-６0°-90°=３0°.在Rt△ABC中,∵∠ＢＣA=30°,AB=2,∴AC＝２AB=4．在Rt△ACE中,∵∠ＡＥC＝３０°，AC=４,∴EC=　AC=4　　　.在Ｒt△ＣDE中，∵siｎ∠ECD=,∠ECＤ=６0°,EC＝4,∴sin60°=∴ＥD＝4ｓiｎ6０°=４×　=6(米).答：树DＥ的高度为6米.(２)延长NM交BC于点G,则GB＝MA=3.在Rｔ△ABC中,∵ＡB=2,ＡＣ=４,∴BC=在Rt△ＣDE中,∵ＣE=4　，DＥ=６,∴ＣD=∴GD＝GB+BC+CD=在Rt△ＧDN中，∵∠NDＧ=45°,∴NG=GD=3+４.∴MN＝NＧ-MＧ=ＮG-AB=3+４－2=(１+4　)米.答:食堂MN的高度为(1+4　）米．命题角度２:利用直角三角形解决航海问题【例5】(２01７·十堰中考)如图，海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点,这时测得小岛Ａ在北偏东３0°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?【思路点拨】作AC⊥BD于点C,设AC＝ｘ海里,由三角函数计算BC,CＤ的长,进而求得AC的长,通过比较ＡC的长度与8海里的大小关系进行作答.【自主解答】作AC⊥BD于C,由题意知∠ABＣ=３０°,∠AＤC=60°,设ＡＣ=x海里，则BC=　　ｘ海里,DC=x海里,因为BＣ-CD=x-x=12,所以x=6海里.因为6　　>８,所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.命题角度3:利用直角三角形解决坡度问题【例6】(2017·达州中考)如图，信号塔PQ座落在坡度i=1∶2的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成６0°角时,测得信号塔PＱ落在斜坡上的影子QN长为2　米,落在警示牌上的影子ＭN长为3米,求信号塔PQ的高．（结果不取近似值)世纪金榜导学号1610435９【思路点拨】过点M作MＦ⊥ＰQ于点F,过点Q作ＱＥ⊥MN于点E，分别解Ｒt△QＥN和Ｒt△MFP,求出EN,PF即可求出PQ的高.【自主解答】过点Ｍ作MF⊥PQ于点F,过点Q作QE⊥MＮ于点Ｅ,∵i=1∶２,设EN=ｋ,QE=２k，由勾股定理可得QN=∴ｋ=２，∴EＮ=2,ＦＭ=QＥ=4，∴ＦQ=ME=MN-NE＝3-2=1．在Ｒt△PFM中,∵∠FPM=180°-90°-6０°=３0°,∴∠PＭＦ＝60°，∴PF＝FM×tan6０°=4　,∴ＰQ=FQ+PF=(1+4)米．答:信号塔PＱ的高为(１+4　　）米.【名师点津】解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来,再根据以下方法和步骤解决:(1)根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系．(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.【题组过关】１.(2017·温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cｏsα＝　　,则小车上升的高度是　(　)　Ａ.5米　　　Ｂ.6米　Ｃ.６.5米　　　D．１2米【解析】选A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离为13×ｃｏsα＝1２米,则由勾股定理得到其上升的高度为　　=５（米).2.(2017·烟台中考）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房ＣＤ的高度，在水平地面Ａ处安置测倾器测得楼房CＤ顶部点D的仰角为4５°，向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AＢ的高度为1．６米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈１.４１４）()A.34.14米B.34.1米C.３5.7米D.3５.7４米【解析】选Ｃ.设ＢＢ′交DC于点C′,则∵BB′=BＣ′-B′C′,∴解得DC′≈34．14.∴DC≈34．14+1.6≈35.7.3.(2017·山西中考）如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AＢ,其中一名小组成员站在距离树１0米的点E处,测得树顶A的仰角为５4°．已知测角仪的架高CＥ=1.５米,则这棵树的高度为__＿__＿_＿米(结果保留一位小数．参考数据：sin５４°≈0.8090,cos54°≈0．5878,tａn54°≈1.3764)．　世纪金榜导学号16１04360【解析】由题知BD＝CE=1.5,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得ＡD=CDtan∠ACD=10ｔan54°≈１0×１.3764=１3．764,所以AB=AD+ＢD≈１3．７64＋１.5=１5.264≈15．３．答案:1５.34．(201７·天津中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东6４°方向,距离灯塔12０海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东４5°方向上的B处,求BＰ和BA的长（结果取整数)．(参考数据:ｓiｎ6４°≈0.９０,ｃoｓ64°≈0.4４,tａn６4°≈2.0５,　　取1.4１4．)【解析】如图,过点P作ＰC⊥AB,垂足为Ｃ,由题意可知,∠Ａ=64°,∠B=４５°,PA=120,在Rt△APC中,ｓinＡ=cosＡ=∴PC＝ＰA·sｉnＡ=120×siｎ6４°，AC＝PＡ·cｏsＡ＝120×cｏs６4°,在Rt△BPC中,∴BP=BC=　　＝PC＝120×siｎ6４°,∴BA=BＣ+ＡC=120×sin６４°+１20×cos６4°≈１20×0.90＋１2０×０．４４≈161.答:BP的长约为153海里,BA的长约为1６１海里.5.(２0１7·广安中考）如图,线段AＢ,CＤ分别表示甲、乙两建筑物的高,ＢA⊥AD,CD⊥DA,垂足分别为A,D.从Ｄ点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为３０°,甲建筑物的高ＡB=3０米.世纪金榜导学号１６104361(１)求甲、乙两建筑物之间的距离AＤ.(2)求乙建筑物的高CD.【解析】(1）根据题意得，在Rt△ＡBD中，∠ＢDA=∠α=６０°，AＢ=３0米，∴AD＝　　　　　　（米）.答:甲、乙两建筑物之间的距离ＡD为10米．(2)如图,过点C作CＥ⊥AB于点E.根据题意,得∠BＣＥ＝∠β=30°，ＣＥ＝AＤ=10　　,CＤ=AＥ．在Rt△BEC中,taｎ∠ＢCE=∴tan30°=　　,∴ＢE＝１0米，∴CD=AＥ=AB－BＥ=3０-１0＝2０(米）.答：乙建筑物的高CD为2０米.