以圆为背景的相似三角形的计算与证明

百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#以圆为背景的相似三角形的计算与证明经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝15.∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，OEAOR15－R45∴BC＝AB，∴9＝15，解得R＝8，75∴AO＝AB－OB＝15－R＝8.【 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．中考变形】图Z13－21．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.求证：△ADO∽△ACB；若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°，∵A∠＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴AACD＝OBCD，∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．［2017·德州］如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，BE＝BC∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BC＝BA，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝6.BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直中考变形3答图3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，ADDEDE2∴△EDA∽△ECO，∴OC＝CE＝＝3.OCCEDE＋CD34．［2016·广东］如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.求证：△ACF∽△DAE；若S△AOC＝43，求DE的长；连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴D∠＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；33(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝4OA2＝4，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴O∠EM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．［2017·株洲］如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.求证：CE∥BF；1∶5，求△BCD的面积．中考变形5答图，作直线OC，若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3解：(1)证明：如答图，连结AC，∵BE＝EF，∴∠F＝∠EBF，∵∠AEB＝∠EBF＋∠F，1∴∠F＝2∠AEB，∵C是A︵B的中点，∴A︵C＝B︵C，∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC，1∴∠AEC＝2∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF；(2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴ACDB＝CAEE，即ACDB＝35，∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴BD＝BE，即2＝1，∴CB＝CE，即CB＝5，∴CB＝25，∴AD＝6，∴AB＝8，∵点C为劣弧AB的中点，1∴OC⊥AB，设垂足为G，则AG＝BG＝2AB＝4，∴CG＝CB2－BG2＝2，11∴S△BCD＝2BD·CG＝2×2×2＝2.6．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；中考变形6答图(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．图Z13－7解：(1)证明：如答图，连结OC.∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC＝PB，∴PA＝PC，∴PC2＝PB·PA，∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.7．［2016·枣庄］如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求P是⊙O外一BC的长．图Z13－8中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为22，∴OB＝22，AC＝42，∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴A△BC∽△PBO，∴BC＝2.∴BC＝AC，即BC＝42，∴BO＝PO，即22＝8，8．［2017·聊城］如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9中考变形8答图解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝52，∵△PBD∽△DCA，∴PB＝BD，即PB＝DC·BD＝52×52＝25DC＝AC，即PB＝AC＝＝中考预测】[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠DCF＝90°.∵∠D＋∠DCF＝90°，∴O∠CB＝∠D，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；(2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B，∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90∴△BOF∽△DOC，∴OC＝OD，即OA＝∴OF＝OB，即OF＝OD，OA，∴OA2＝OD·OF.