生物学中，动物分为脊椎动物和无脊椎动物．脊椎动物又分为鱼类、爬行类、鸟类、两栖类、哺乳类五大类．把所有哺乳类动物组成一个集合A，所有脊椎动物组成一个集合B.问
题
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1：A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，A中每一个元素都属于B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.子集的概念文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则，读作或任意一个包含A⊆B(或B⊇A)“A包含于B”“B包含A” 设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}． 问题1：三边相等的三角形是何三角形？ 提示：等边三角形． 问题2：两集合中的元素相同吗？ 提示：相同． 问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？ 提示：是，是． 集合相等 (1)自然语言：如果集合A是集合B的，且集合B是集合A的，那么称集合A与集合B是相等的． (2)符号语言：若A⊆B且，则.子集子集B⊆AA＝B 给出下列集合： A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3,4,5,6}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素有什么特点？ 提示：集合B中至少存在一个元素不是集合A中的元素，如：元素5.1．真子集文字语言符号语言图形语言如果集合A是集合B的 ，且在集合B中至少存在元素不是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集若集合，但，且，则AB(或BA)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”)子集一个A⊆B存在元素x∈Bx∉A2．空集(1)定义：的集合．(2)符号表示：.(3)规定：空集是任何集合的子集．不含任何元素∅3．子集的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C：①若A⊆B，B⊆C，则；②若AB，BC，则.A⊆CAC 对子集、真子集概念的理解： (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用
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． (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次是至少有一个x∈B，且x∉A.[例1] 下列各式正确的是________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)∅{0}；(4)0⊆{0}；(5){1}{x|x≤5}；(6){1,3}{3,4}．[思路点拨] 利用子集、真子集、集合相等的概念判断．[精解详析]题号正误原 因(1)√任何一个集合都是它本身的子集(2)√两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义(3)√空集是任何非空集合的真子集(4)×元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}题号正误原 因(5)√∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}(6)×∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}不是{3,4}的子集，更不是真子集[答案] (1)(2)(3)(5) [一点通] 两集合间关系的判断： (1)用定义判断. 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集； 若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. (2)数形结合判断. 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．1．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，则有( )A．A>B B．ABC．BAD．A⊆B答案：C解析：借助数轴，可得BA.2．已知集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}，试判断集合M，N的关系．解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x取值为－1,0,1,2.∴M＝{－1,0,1,2}．又∵y∈M，∴|y|值分别是0,1,2.∴N＝{0,1,2}．∴NM.3．已知集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，P＝{x|x＋1≥0}，试判断M与P的关系．解：M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，P＝{x|x＋1≥0}＝{x|x≥－1}．∵－1∈P,3∈P，{－1,3}≠{x|x≥－1}，∴MP. [例2] 已知集合A＝{1,1＋b,1＋2b}，B＝{1，c，c2}，若A＝B，求c的值． [思路点拨] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，还要注意集合中元素的互异性． [一点通] 1．若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． 2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致．且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等． 3．证明两集合相等的常用思路是证A⊆B且B⊆A.4．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}．若A＝B，求a的值．5．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，k∈Z}，证明A＝B.证明：(1)设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，且n0∈Z，3n0－2＝3(n0－1)＋1.因为n0∈Z，所以n0－1∈Z.所以x0∈B.故A⊆B.(2)设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，且k0∈Z，3k0＋1＝3(k0＋1)－2.因为k0∈Z，所以k0＋1∈Z.所以y0∈A.故B⊆A.综上可得A＝B. [例3] (12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
a}，满足AB，则实数a的取值范围是 ( )A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}解析：如图所示，AB，所以a≤1.答案：B7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x－a＝0}，若B⊆A，则实数a的值为________．解析：A＝{3,5}，B＝{a}．∵B⊆A，∴a＝3或a＝5.答案：3或5 1．子集和真子集 (1)A⊆B包含两种情况：A＝B和AB.当A是B的子集时，不要漏掉A＝B的情况． (2)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)，真包含于()、真包含()等．用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的． 2．空集 (1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若利用“A⊆B”或“AB”解题，要讨论A＝∅和A≠∅两种情况．
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