一线三等角”模型在初中数学中的应用一、一线三等角”模型的提炼例1、（2015年山东德州卷）⑴问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，/DPChA=ZB=90°.求证：ADBC二A^P⑵探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当/DPCKA=ZB=B时，上述结论是否依然成立
说明
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理由•⑶应用：请利用⑴、（2）获得的经验解决问题：如图3,在厶ABD中，AB=6,AD=BD=5点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足/DPCKA.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.图I图2图3变式1（2012年烟台）（1）问题探究如图6,分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACDE1和正方形BCD&,过点C作直线KH交直线AB于点H,使/AHK二/ACD.作D1M丄KH,D2N丄KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明.（2）拓展延伸1如图7,若将问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1,K2H2，分别交直线AB于点H1、H2,使/AH1K1=/BH2K2=/ACD.作D1M丄K1H1,D2N丄K2H2,垂足分别为点M、N.D1M=D2N是否仍成立若成立，给出证明；若不成立，说明理由.2如图8,若将①中的正三角形”改为正五边形”其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立（要求：在图8中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）(3)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在厶ABC中，AB=2,/B=45,以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE点D在BC上，点E在AC上，若CE=5求CD的长。例2、（2013年海淀区一模22题最后一问）如图，11、12、13是同一平面内的三条平行线，11、12之间的距离是21/5，12、13之间的距离是21/10，等边△ABC的三个顶点分别在11、12、13上，求△ABC的边长.例3、如图，在矩形纸片ABCD中，AE=5,EC=4，在AE边上取点G,现将纸片沿EG处，当AE=3时，求BG的长三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作/MDN=/B.（1）如图5,当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。⑵如图6,将/MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。⑶在图6中，若AB=AC=10BC=12当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的长。O点旋转的过程中，/OEF能否成为等腰三角形请说明理由.例2、如图8，在Rt/ABC中，AB=AC=2/A=90；现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在BC中点O处，三角板的直角边与线段ABAC分别交于点E、F，90°).试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；试判断/BEO与/OEF的大小关系并说明理由；在三角板绕x的值;若不能，【例3】(2012四川成都卷)如图，△ABC和厶DEF两个全等的等腰直角三角形，/BAC=/EDF=90,△DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE^ACQE■PM、PN分别于边、AB、AC交于点E、6、(东城一模24.)等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，/MPN=60°,P为BC的三等分点，且PE±AB时，判断△EPF的形状P在BC边上运动，且保持x的取值范围；■'P在BC边上运动，且/(1)(2)如图1，当点如图2，若点并写出自变量如图3，若点，-设BP=x,M四边形AEPFP旋转，当CF=AE=2时CHPE的长.A«y，求y与x的函数关系式,(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BP0ACEQ并求当BP=aCQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)2、四边形中的一线三等角例1、如图，正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AM丄MN,设BM的长为xcm,CN的长为ycm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值(2013年杭州压轴题｝如图*已知止方形ABCL)的边氏为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件ZEPF=45\图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称、设它们的面积和为SI。(1)求证：ZAPE=ZCFP；(2)设四边形CMPF的面积为S2,GF=x,y=求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点卩成中心对称时，求y的值.ND例3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=4AD=42/B=45；动，且/AEF=45°则点E移动过程中，线段AF长移的最小值是()AEDAED例4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ABDCAD6,AD,DC上(点E与点A,D不重合),且BEF120°，设AE⑴求y与x的函数表达式；⑵当x为何值时，y有最大值，最大值是多少tanCAD例4、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/B=90°AB=8，动点(点E与点A、D不重合)，且/FEC=ZACB设DE=x,CF=y43，CA=CD,E、F分别是线段AD、AC上的(1)求AC和AD的长；(2)求y与x的函数关系式；(3)当厶EFC为等腰三角形时，求x的值.AE例九(长宁区18題:：如囹，等穫梯^iABCD中…S1/BCtAD-41EC―丄近,ZB=45r,直曲三朗橇含舫廈轴的顶点囂柱边贞U上彩动，一宜曲边始这经11.^A,斛边与OD交二点「若仝ABE为等腰三角砂则CF的长等于,侧3(徐汇区25).如图，在梯形ABCD41,AD/IBC・AB=CD=BC=6,卫D=3-点M为边眈的中点「以"为顶点作亠氏£吕馬機ME交腰于点F.射线丄茁交段CD二点F,联结EF.(1)求证主KEFs'EEM)TABEM是I；1卫M药膘的尊煙三吊形，求EF的长I若EF_8:求刀£曲长.3、函数问题中的一线三等角.例1、在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连结0A,过点0作0B丄0A,交抛物线于点B,以OA0B为边构造矩形AOBC如图，当点A的横坐标为一1/2时，求点B的坐标.F*变式练习3、在乎血直旳坐杯系XOY1'•\AOB的位置如图新小.12知==60\点A的曙标为f-V3,1)求点R的坐标’■!；地物线，=u/十加十芒经过紅0.H上点，集画数解析式。例2、如图，已知直线y=kx与抛物线y=—4/27x2+223交于点A(3,6).若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点0、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE=/BED=ZA0D.试探究:m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个
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