数列型不等式放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一利用重要不等式放缩均值不等式法例1设求证解析此数列的通项为，，即注：=1\*GB3①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！=2\*GB3②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题）简析例3已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）简析由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.例4求证.简析不等式左边=，原结论成立.2．利用有用结论例5求证简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例6已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)（），得证！例7已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例8已知不等式
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示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）简析当时，即于是当时有注：=1\*GB3①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；=2\*GB3②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例9设，求证：数列单调递增且解析引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。注：=1\*GB3①上述不等式可加强为简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有=2\*GB3②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。二部分放缩例10设求证：解析又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例11设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。三添减项放缩上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例12设，求证.简析观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例13设数列满足（Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）；法2则四利用单调性放缩构造数列如对上述例1，令则，递减，有，故再如例5，令则，即递增，有，得证！注：由此可得例5的加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！2．构造函数例14已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题）解析（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例15数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题）解析构造函数易知在是增函数。当时在递增故对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：=1\*GB3①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限：=2\*GB3②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。五换元放缩例16求证简析令，这里则有，从而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例17设，，求证.简析令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此六递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明，同理例7中所得和、例8中、例13（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。七转化为加强命题放缩如上述例11第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。例18设，定义，求证：对一切正整数有解析用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证明从略）例19数列满足证明（01年中国西部数学奥林匹克试题）简析将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步：因此对一切有八分项讨论例20已知数列的前项和满足（Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有（04年全国卷Ⅲ）简析（Ⅰ）略，（Ⅱ）；（Ⅲ）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是=1\*GB3①当且为偶数时=2\*GB3②当且为奇数时（添项放缩）由=1\*GB3①知由=1\*GB3①=2\*GB3②得证。
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