高等数学教案7-1

§7．2 向量及其加减法 向量与数的乘法 §7( 1 向量及其线性运算 一、向量概念 向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时( 常会遇到这样一类量( 它们既有大小( 又有方向( 例如力、力矩、位移、速度、加速度等( 这一类量叫做向量( 在数学上( 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量( 有向线段的长度表示向量的大 小( 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 ( 向量可用粗体字母表示( 也可用上加箭头书写体字母表示( 例如( a、r、v、F或 、 、 、 ( 自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向( 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量( 并称这种向量为自由向量( 简称向量( 因此( 如果向量a和b的大小相等( 且方向相同( 则说向量a和b是相等的( 记为a ( b( 相等的向量经过平移后可以完全重合( 向量的模 向量的大小叫做向量的模( 向量a、 、 的模分别记为|a|、 、 ( 单位向量 模等于1的向量叫做单位向量( 零向量 模等于0的向量叫做零向量( 记作0或 ( 零向量的起点与终点重合( 它的方向可以看作是任意的( 向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反( 就称这两个向量平行( 向量a与b平行( 记作a // b( 零向量认为是与任何向量都平行( 当两个平行向量的起点放在同一点时( 它们的终点和公共的起点在一条直线上( 因此( 两向量平行又称两向量共线( 类似还有共面的概念( 设有k(k(3)个向量( 当把它们的起点放在同一点时( 如果k个终点和公共起点在一个平面上( 就称这k个向量共面( 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法 设有两个向量a与b( 平移向量使b的起点与a的终点重合( 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和( 记作a+b( 即c(a+b . 三角形法则 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则( 平行四边形法则 当向量a与b不平行时( 平移向量使a与b的起点重合( 以a、b为邻边作一平行四边形( 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a(b( 向量的加法的运算规律 (1)交换律a(b(b(a( (2)结合律(a(b)(c(a((b(c)( 由于向量的加法符合交换律与结合律( 故n个向量a1( a2( ( ( (( an(n (3)相加可写成 a1(a2( ( ( ((an( 并按向量相加的三角形法则( 可得n个向量相加的法则如下( 使前一向量的终点作为次一向量的起点( 相继作向量a1( a2( ( ( (( an( 再以第一向量的起点为起点( 最后一向量的终点为终点作一向量( 这个向量即为所求的和( 负向量 设a为一向量( 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量( 记为(a( 向量的减法 我们规定两个向量b与a的差为 b(a(b(((a)( 即把向量(a加到向量b上( 便得b与a的差b(a( 特别地( 当b(a时( 有 a(a(a(((a)(0( 显然( 任给向量 及点O( 有 ( 因此( 若把向量a与b移到同一起点O( 则从a的终点A向b的终点B所引向量 便是向量b与a的差b(a ( 三角不等式 由三角形两边之和大于第三边的原理( 有 |a(b|(|a|(|b|及|a(b|(|a|(|b|( 其中等号在b与a同向或反向时成立( 2．向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义( 向量a与实数(的乘积记作(a( 规定(a是一个向量( 它的模|(a|(|(||a|( 它的方向当(>0时与a相同( 当(<0时与a相反( 当((0时( |(a|(0( 即(a为零向量( 这时它的方向可以是任意的( 特别地( 当(((1时( 有 1a(a( ((1)a((a( 运算规律 (1)结合律 (((a)((((a)(((()a； (2)分配律 (((()a((a((a； ((a(b)((a((b( 例1( 在平行四边形ABCD中( 设 (a( (b( 试用a和b表示向量 、 、 、 ( 其中M是平行四边形对角线的交点( 解 由于平行四边形的对角线互相平分( 所以 a(b ( 即 ((a(b) ( 于是 (a(b)( 因为 ( 所以 EMBED Equation.3 (a(b)( 又因(a(b ( 所以 (b(a)( 由于 ( 所以 (a(b)( 例1 在平行四边形ABCD中( 设 ( ( 试用a和b表 示向量 、 、 、 ( 其中M是平行四边形对角线的交点( 解 由于平行四边形的对角线互相平分( 所以 ( 于是  ( 因为 ( 所以  向量的单位化 设a(0( 则向量 是与a同方向的单位向量( 记为ea( 于是a(|a|ea( 向量的单位化 设a(0( 则向量 是与a同方向的单位向量( 记为ea( 于是a ( | a | ea( 定理1 设向量a ( 0( 那么( 向量b平行于a的充分必要条件是 存在唯一的实数(( 使 b ( (a( 证明 条件的充分性是显然的( 下面证明条件的必要性( 设b // a( 取 ( 当b与a同向时取正值( 当b与a反向时取负值( 即b(a( 这是因为此时b与a同向( 且 |a|(|||a| ( 再证明数的唯一性( 设b((a( 又设b(a( 两式相减( 便得 (()a(0( 即|(||a|(0( 因|a|(0( 故|(|(0( 即(( 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴( 设点O及单位向量i确定了数轴Ox( 对于轴上任一点P( 对应一个向量 ( 由 //i( 根据定理1( 必有唯一的实数x( 使 (xi(实数x叫做轴上有向线段 的值)( 并知 与实数x一一对应( 于是 点P(向量 ( xi(实数x ( 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系( 据此( 定义实数x为轴上点P的坐标( 由此可知( 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 ( xi ( 三、空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k( 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴( 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)( 统称为坐标轴( 它们构成一个空间直角坐标系( 称为Oxyz坐标系( 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位 (2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上( 而z轴则是铅垂线 (3)数轴的的正向通常符合右手规则( 坐标面 在空间直角坐标系中( 任意两个坐标轴可以确定一个平面( 这种平面称为坐标面( x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面( 另两个坐标面是yOz面和zOx面( 卦限 三个坐标面把空间分成八个部分( 每一部分叫做卦限( 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限( 它位于xOy面的上方( 在xOy面的上方( 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限( 在xOy面的下方( 与第一卦限对应的是第五卦限( 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限( 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示( 向量的坐标分解式( 任给向量r( 对应有点M( 使 ( 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体( 有 ( 设 ( ( ( 则 ( 上式称为向量r的坐标分解式( xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量( 显然( 给定向量r( 就确定了点M及 ( ( 三个分向量( 进而确定了x、y、z三个有序数( 反之( 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M( 于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 ( 据此( 定义( 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标( 记作r((x( y( z)( 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标( 记为M(x( y( z)( 向量 称为点M关于原点O的向径( 上述定义表明( 一个点与该点的向径有相同的坐标( 记号(x( y( z)既表示点M( 又表示向量 . 坐标面上和坐标轴上的点( 其坐标各有一定的特征( 例如( 点M在yOz面上( 则x(0( 同相( 在zOx面上的点( y(0( 在xOy面上的点( z(0( 如果点M在x轴上( 则y(z(0( 同样在y轴上,有z(x(0( 在z轴上 的点( 有x(y(0( 如果点M为原点( 则x(y(z(0. 四、利用坐标作向量的线性运算 设a((ax( ay( az)( b((bx( by( bz) 即 a(axi(ayj(azk( b(bxi(byj(bzk ( 则 a(b((axi(ayj(azk)((bxi(byj(bzk) ((ax(bx)i((ay(by)j((az(bz)k ((ax(bx( ay(by( az(bz)( a(b((axi(ayj(azk)((bxi(byj(bzk) ((ax(bx)i((ay(by)j((az(bz)k ((ax(bx( ay(by( az(bz)( (a(((axi(ayj(azk) (((ax)i(((ay)j(((az)k (((ax( (ay( (az)( 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a((ax( ay( az)(0( b((bx( by( bz)( 向量b//a(b((a ( 即b//a((bx( by( bz)(((ax( ay( az)( 于是 ( 例2 求解以向量为未知元的线性方程组 ( 其中a((2( 1( 2)( b(((1( 1( (2). 解 如同解二元一次线性方程组( 可得 x(2a(3b( y(3a(5b ( 以a、b的坐标表示式代入( 即得 x(2(2( 1( 2)(3((1( 1( (2)((7( (1( 10)( y(3(2( 1( 2)(5((1( 1( (2)((11( (2( 16)( 例3 已知两点A(x1( y1( z1)和B(x2( y2( z2)以及实数(((1( 在直线AB上求一点M( 使 ( 解 由于 ( ( 因此 ( 从而 ( ( 这就是点M的坐标( 另解 设所求点为M (x( y( z)( 则 ( ( 依题意有 ( 即 (x(x1( y(y1( z(z1)(((x2(x( y2(y( z2(z) (x( y( z)((x1( y1( z1)(((x2( y2( z2)(((x( y( z)( ( ( ( ( 点M叫做有向线段 的定比分点( 当((1( 点M的有向线段 的中点( 其坐标为 ( ( ( 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r((x( y( z)( 作 ( 则 ( 按勾股定理可得 ( 设 ( ( ( 有 |OP|(|x|( |OQ|(|y|( |OR|(|z|( 于是得向量模的坐标表示式 ( 设有点A (x1( y1( z1)、B(x2( y2( z2)( 则 ((x2( y2( z2)((x1( y1( z1)((x2(x1( y2(y1( z2(z1)( 于是点A与点B间的距离为 EMBED Equation.3 ( 例4 求证以M1(4( 3( 1)、M2 (7( 1( 2)、M3 (5( 2( 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形( 解 因为 | M1M2|2 ((7(4)2((1(3)2((2(1)2 (14( | M2M3|2 ((5(7)2((2(1)2((3(2)2 (6( | M1M3|2 ((5(4)2((2(3)2((3(1)2 (6( 所以|M2 M3|(|M1M3|( 即 M1 M2 M3为等腰三角形( 例5 在z轴上求与两点A((4( 1( 7)和B(3( 5( (2)等距离的点( 解 设所求的点为M(0( 0( z)( 依题意有|MA|2(|MB|2( 即 (0(4)2((0(1)2((z(7)2((3(0)2((5(0)2(((2(z)2( 解之得 ( 所以( 所求的点为 ( 例6 已知两点A(4( 0( 5)和B(7( 1( 3)( 求与 方向相同的单位向量e( 解 因为 ( ( 所以 ( 2．方向角与方向余弦 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时( 两个向量之间的不超过(的夹角称为向量a与b的夹角( 记作 或 ( 如果向量a与b中有一个是零向量( 规定它们的夹角可以在0与(之间任意取值( 类似地( 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角( 非零向量r与三条坐标轴的夹角(、(、(称为向量r的方向角( 向量的方向余弦 设r((x( y( z)( 则 x(|r|cos(( y(|r|cos(( z(|r|cos( ( cos(、cos(、cos( 称为向量r的方向余弦( ( ( ( 从而 ( 上式表明( 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ( 因此 cos2((cos2((cos2((1( 例3 设已知两点 )和B (1, 3, 0)( 计算向量 的模、方向余弦和方向角( 解 (  ( (  ( ( ( 3．向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴( 任给向量r( 作 ( 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M((点M(叫作点M在u轴上的投影)( 则向量 称为向量r在u轴上的分向量( 设 ( 则数(称为向量r在u轴上的投影( 记作Prjur或(r)u ( 按此定义( 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax( ay( az就是a在三条坐标轴上的投影( 即 ax(Prjxa( ay(Prjya( az(Prjza( 投影的性质( 性质1 (a)u(|a|cos ( (即Prjua(|a|cos ()( 其中(为向量与u轴的夹角( 性质2 (a(b)u((a)u((b)u (即Prju(a(b)( Prjua(Prjub)( 性质3 ((a)u(((a)u (即Prju((a)((Prjua)( � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C A B C � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� (� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���(� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���(� EMBED Equation.3 ��� A B C D M � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C D M � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 9 _1104909025.unknown _1104909722.unknown _1104909961.unknown _1104910009.unknown _1104921541.unknown _1104921675.unknown _1104921819.unknown _1104922033.unknown _1104922091.unknown _1104921717.unknown _1104921574.unknown _1104910034.unknown _1104910111.unknown _1104921538.unknown _1104910110.unknown _1104910018.unknown _1104909978.unknown _1104909991.unknown _1104909969.unknown _1104909812.unknown _1104909939.unknown _1104909955.unknown _1104909930.unknown _1104909817.unknown _1104909752.unknown _1104909785.unknown _1104909809.unknown _1104909793.unknown _1104909775.unknown _1104909728.unknown _1104909742.unknown _1104909725.unknown _1104909623.unknown _1104909631.unknown _1104909635.unknown _1104909639.unknown _1104909715.unknown _1104909718.unknown _1104909642.unknown _1104909703.unknown _1104909641.unknown _1104909637.unknown _1104909638.unknown _1104909636.unknown _1104909633.unknown _1104909634.unknown _1104909632.unknown _1104909627.unknown _1104909629.unknown _1104909630.unknown _1104909628.unknown _1104909625.unknown _1104909626.unknown _1104909624.unknown _1104909619.unknown _1104909621.unknown _1104909622.unknown _1104909620.unknown _1104909616.unknown _1104909617.unknown _1104909615.unknown _1102703924.unknown _1104908048.unknown _1104908871.unknown _1104908878.unknown _1104909024.unknown _1104908876.unknown _1104908066.unknown _1104908079.unknown _1104908055.unknown _1104907809.unknown _1104907903.unknown _1104907946.unknown _1104907989.unknown _1104907944.unknown _1104907945.unknown _1104907913.unknown _1104907884.unknown _1102761530.unknown _1102925106.unknown _1102938608.unknown _1102938797.unknown _1102936045.unknown _1102761548.unknown _1102707721.unknown _1102663104.unknown _1102703034.unknown _1102703244.unknown _1102703465.unknown _1102703474.unknown _1102703299.unknown _1102703073.unknown _1102703142.unknown _1102663109.unknown _1102663113.unknown _1102702941.unknown _1102666266.unknown _1102663114.unknown _1102663111.unknown _1102663112.unknown _1102663110.unknown _1102663107.unknown _1102663108.unknown _1102663105.unknown _1082271611.unknown _1102663100.unknown _1102663102.unknown _1102663103.unknown _1102663101.unknown _1084470476.unknown _1102663082.unknown _1084470064.unknown _1082267441.unknown _1082267447.unknown _1082269505.unknown _1082271592.unknown _1082269510.unknown _1082269498.unknown _1082269479.unknown _1082267444.unknown _1079174435.unknown _1079174650.unknown _1082267436.unknown _1079175986.unknown _1079174502.unknown _1079174341.unknown _1079174412.unknown _1009519417.unknown _1079174300.unknown _1009519396.unknown