含参数二次不等式的“分类讨论”
张太树
解含参数的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，通常要分类讨论．其步骤是考虑三个方面：①a，它影响到解集的最后形式；②△，影响到不等式所对应的方程是否有解；③两根x1，x2的大小，影响到解集最后的次序．下面举例说明．
例1 解不等式x2＋ax＋4＞0．
分析：本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中由于x2的系数大于0，故只需考虑后两个因素．
解：由 △＝a2－16，所以
⑴ 当－4＜a＜4时，△＜0，解集为R．
⑵ 当a＝±4时，△＝0，解集为{x|x∈R，且x≠－
}．
⑶ 当a＞4或a＜－4时，△＞0，此时两根分别为
显然x1＞x2．
∴ 不等式的解集是{x|
}．
例2 解不等式x2－(a＋
)x＋1＜0(a≠0)．
分析：此不等式可化为(x－a)(x－
)＜0，故对应的方程必有两解，又1＞0，所以只要讨论两根的大小即可．
解：原不等式可化为(x－a)(x－
)＜0，令a＝
，可得a＝±1．
⑴ 当a＜－1或0＜a＜1时，a＜
，故原不等式的解集为{x|a＜x＜
}．
⑵当a＝－1或a＝1时，a＝
，故原不等式的解集为
．
⑶当－1＜a＜0或a＞1时，a＞
，故原不等式的解集为{x|
＜x＜a }．
· 例3.（必背）
解：
综上所述，得原不等式的解集为
；
；
；
；
。
例4（难）. 解不等式mx2－2x＋1＞0．
分析：本题影响的因素很多，需分级讨论．先讨论m与0的大小；再由△＝4(1－m)，又要讨论m与1的大小．
解：⑴当m＝0时，方程－2x＋1＞0，解集为{x|x＜
}．
⑵当m≠0时，△＝4(1－m)，故需按△与0的大小再讨论．
①当m＜0时，△＝4(1－m)＞0，此时
＜
，故解集为{x|
＜x＜
}．
②当0＜m＜1时，△＝4(1－m)＞0，此时
＞
，故解集为{x|x＞
或x＜
}．
③当m＝1时，△＝4(1－m)＝0，不等式可化为(x－1)2＞0，此时的解集为{x|x≠1}．
④当m＞1时，△＜0，故解集为R．
区别题：（很典型）
例5、（1）若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求
的取值范围.
（2）若关于
的一元二次方程
恒成立，求
的取值范围.
（3）解关于x的不等式
HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/"
（4）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M
［1，4］，求实数a的取值范围？
例6．（难）已知函数
，问是否存在常数a,b,c,使得不等式
对一切实数x恒成立？
_1143534875.unknown
_1143535062.unknown
_1143535186.unknown
_1250432112.unknown
_1250610245.unknown
_1317748406.unknown
_1250432158.unknown
_1250610244.unknown
_1250432087.unknown
_1250330402.unknown
_1143535106.unknown
_1143535131.unknown
_1143535090.unknown
_1143534952.unknown
_1143534997.unknown
_1143535027.unknown
_1143534973.unknown
_1143534921.unknown
_1143534934.unknown
_1143534896.unknown
_1142742936.unknown
_1143534714.unknown
_1143534856.unknown
_1142746637.unknown
_1142746708.unknown
_1142746765.unknown
_1142746699.unknown
_1142743001.unknown
_1142746607.unknown
_1142742780.unknown
_1142742840.unknown
_1076948141.unknown
_1142224919.unknown
_1142742629.unknown
_1108213810.unknown
_1076849963.unknown
浙公网安备 33021202002483