备战2010年MBA初等数学复习资料

目 录 1初等数学常用公式 2第一章 绝对值 比和比例 平均值 2第一节 条件充分性判断 2第二节 绝对值 5第三节 比和比例 8第四节 平均值 9课后练习 11第二章 方程与不等式 22课后练习 26第三章 数列 26第一节 基本概念 27第二节 等差数列 29第三节 等比数列 31课后练习 初等数学常用公式 乘法公式与二项式定理 （1） （2） （3） （4） ； （5） 二、因式分解 （1） （2） ； （3） 三、分式裂项 （1） （2） 四、指数运算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 五、对数运算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 六、排列组合 （1） （约定 ） （2） （3） （4） （5） 第一章 绝对值 比和比例 平均值 二项式定理 第一节 条件充分性判断 定义：对于两个命题A和B，若有A B，则称A为B的充分条件。 充分性判断题的解题说明： 这类题 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读每题给出条件（1）和条件（2）后选择： （A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分 （B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分 （C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 （D） 条件（1）充分，条件（2）也充分 （E） 条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分 例1.2 成立 （1） （2） 显然：条件（1）不充分，条件（2）也不充分 注意：很多同学在解这类题型的时候，习惯于受传统解题思维的影响，往往从题干的结论出发，这样得出来的条件往往是必要条件，而不是充分的，如果刚巧得出来的必要条件就是充要条件的话，那么可能会得出正确答案，如果不是充要条件的话，答案就可能不正确了。 第二节 绝对值 1、定义 实数 的绝对值记作 。 EMBED Equation.DSMT4 2、几何意义 一个实数在数轴上所对应的点，到原点的距离就是这个数的绝对值。 a 0 x 3、性质 （1）非负性 （2）等价性 （3）对称性 4、常用的运算法则 （1） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） （3） 当且仅当 时， 成立，当且仅当 时， 成立。 （4） ，当且仅当 时，等式成立。 （5） 5、非负数 （1） （2） （3） 有意义，且 非负数有下面两个易见的性质，在解题时常常要用到： （1）有限个非负数之和仍然是非负数； （2）如果有限个非负数之和等于零，则每一个非负数都必须等于零，即若 其中 则 例1.3 已知 求 的值。 解：由 所以 例1.4 例1.5 关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解： ，即使 时，原不等式仍然无解， 故 时解集为 ，答案为B 例1.6 已知 则有（ ） （A） （B） （C） （D） （E）以上结论均不对 解： 故应选（A） 例1.7 成立 （1） （2） 解：由条件（1） ，可得 但当 时， 故原式不一定成立，所以条件（1）单独不充分。同样可得出条件（2）单独也不充分。 但当条件（1）和（2）联合起来时，即 且 时，原式成立，故此题应选C。 例1.8 等式 成立 （1） （2） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：本题可以先找出题干结论成立的充要条件，再判断给出的条件（1）和（2）是否是充要条件的子集或元素（即是否是充要条件的充分条件），如果两个条件单独都不是的话，还要看两个条件联合是否是充分的。 由实数绝对值的定义知道 解： 即 显然条件（1）单独是充分的，条件（2）单独不充分，因为 满足条件（2）但是不能够使得结论成立。 故本题应选（A） 例1.9 方程 有且仅有一个实根 （1） （2） 解：由条件（1）得 ，所以条件（1）单独不充分 由条件（2）得 ，所以条件（2）单独充分 故本题应选（B） 例1.10 等式 成立 （1） （2） 解：用 显然条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来充分，故选C 第三节 比和比例 1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比，把 和 的比（ 记为a:b或 2、 比的性质： 3、 百分比：常把比值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示百分数，称百分数形式的比值为百分比（或百分率）比如： 1：2=50% 4、 比例：两个比相等的式子叫做比例。 记为 a,d为比例外项，b,c为比例内项。若b=c 则有 此时b叫做比例中项 5、 比例的性质: ，(1) ， ） （3） ）,（4） （分比定理） （5） 6、 正比例和反比例： 正比例：如果变量X和Y ，满足下面的关系，Y=KX（K 0是比例系数），则X与Y成正比例。 反比例：如果变量X和Y，满足下面的关系，Y ，是比例系数），则X与Y成反比例。 例1.11 ，且 ，求y的值。 分析：在求有关连比题的时候，一般先假设一个比例常数 。 解：设 例1.12 一批产品中，一等品与二等品的比为4：1，又知二等到品与三等品的比为5：3，一等品与二等品为合格品，求这一批产品的合格率。 解：一等品：二等品=4:1=20:5 二等品：三等品=5:3 一等品：二等品：三等品=20：5：3 合格率为 例1.13 已知 解： 设 =t x=2t y=3t z=4t 例1.14 已知y= 成正比， 与x成反比例，当x=1或x=-2，y的值为15，求当X=2时，Y的值是多少？ 解： （2）-- （1）得： 分数和百分数应用题 例1.15 某工程队原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 用6天时间挖水渠800米，结果前两天就完成了计划的40%，按照这个进度施工，则可以提前（ ）天完工。 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 解：前两天每天挖渠长为 （米） 挖渠800米所需天数为 （天） 所以可提前1天完工，本题应选A 例1.16 某商品单价上调10%后，再降为原价，则应下降的百分比为（ ） A 9% B 11% C 13% D 15% E 17% 解：设商品原单价为 下降百分率为 由题意，得 故本题选A 注意：下调的百分率应是下调的钱数与涨价后的单价的百分比。下调钱数仍为 涨价后的单价是 ，故 例1.17 某车间生产一批机器，原计划每天生产32台，10天可以完成任务，实际提前2天完成了任务，则平均每天增产了（ ） A 20% B 25% C 30% D 35% E 40% 解：从题中可知，这批机器的总量为320台，实际只用了8天时间，所以每天平均生产了40台，比原计划每天多生产了8台，故增产了 即25%，答案为B 第四节 平均值 1．算术平均值： ， 记为： 2.几何平均值： 简单性质： ①如果N个数据彼此都相等 则 ②可以证明： ，以上各式中 EMBED Equation.3 例1.18 某笔厂生产三种不同规格的圆珠笔一批，其中有6000支单价为3元，3000支单价为5元，1000支单价为10元，求这批圆笔平均价格。 例1.19 某班同学外语平均成绩为７５分，男生人数比女生人数多８０％，而女生平均分比男生多２０％，求女生的平均成绩。　　　　　　 解：设女生人数为 ，则男生人数为 女生平均分为 ,男生平均分为 则有: 故女生均分为1.2 70=84分 例1.20 车间共有40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（ ）人。 A 16 B 18 C 20 D 24 解：设该车间有女工 人，则男工有40- 人 那么： 课后练习 一、选择题 1． （ ） （A） （B） （C）4 （D）3 （E）A、B、C、D都不正确 2． （ ） （A）4 （B）0 （C）4或0 （D）1 （E）A、B、C、D都不正确 3． （ ） （A）30 （B）40 （C）45 （D）47 （E）A、B、C、D都不正确 5．班上 的女生和 的男生参加了保险，且班级120人中男生是女生的 倍，那么班级中参加保险的人数占全班人数的（ ） （A）40% （B）42% （C）44% （D）46% （E）45% 6．原价a元可购5件衬衫，现价a元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（ ） （A）25% （B）37.5% （C）40% （D）60% （E）45% 7．某厂生产的产品中 为一级品， 为二级品，不合格产品是二级品的 ，则该种产品中不合格品是一级品的（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 10．已知A股票上的0.16元相当于该股票原价的16%，B股票上涨1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股票原价相差（ ） （A）8元 （B）9.5元 （C）10元 （D）10.5元 （E）9元 11．一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ） （A）40% （B）45% （C）50% （D）60% （E）55% 12．若 ，则x的取值范围是（ ） （A）x＞0 （B）x=3 （C）x＜3 （D）x≤3 （E）A、B、C、D都不正确 13．满足关系式 的x是（ ） （A）0 （B）2 （C）0或2 （D）0或-2 （E）2或-2 14．不等式 的解集是（ ） （A）x≤0 （B）x≥4 （C）0≤x≤4 （D）x≤0或x≥4 （E）A、B、C、D都不正确 15． （ ） （A） 或0 （B） 或0 （C） （D） 或 （E） 或-1 16．已知 ，则x+y的值为（ ） （A） 或 （B） （C） （D）-1 （E） 17．甲与乙的比是3:2，丙与乙的比是2:3，则甲与丙的比是（ ） (A)1:1 (B)3:2 (C)2:3 (D)9:4 (E)8:5 18．某班学生中， 的女生和 的男生是共青团员，若女生团员人数是男生团员人数的 ，则该班女生人数与男生人数的比为（ ） （A）5:6 (B)2:3 (C)3:2 (D)4:5 (E)5:4 19．李先生投资2年期、3年期和5年期三种国债的投资额的比为5:3:2。后又以与前次相同的投资总额全部购买3年期国债，则李先生两次对3年期国债的投资额占两次总投资额的（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 20．某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若第二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率为（ ） （A）15% （B）16% （C）17% （D）14% （E）13% 22．已知 ，则 等于（ ） （A） （B）3 （C） 或3 （D） 或 （E）3或 二、充分性判断 24．甲城区2001年人均绿地占有面积比2000年约减少2.2% （1）甲城区2001年绿地总面积较2000年减少2%，而人口却增加了0.2% （2）甲城区2001年绿地总面积较2000年增加1.2%，而人口增加了0.3% 25． （1）a，b，c在数轴上的位置如图1-4所示 图1 （2）a，b，c在数轴上的位置如图1-5所示 图2 26．某班男生人数比女生人数少 （1）男生中共青团员的人数是全班人数的20% （2）女生中共青团员的人数是全班人数的52% 28．商店换季大甩卖，某种上衣价格下降60% （1）原来买2件的钱，现在可以买5件 （2）原来的价格是现在价格的2.5倍 第二章 方程与不等式 一、一元一次方程：最简形式 ax=b(a≠0) 形如 ax=b 的方程的求解方法 ① a≠0 x=b/a ② a=0 ，b≠0时 ,不存在x值使等式成立，原方程无解 a=0，且b=0时，即0x=0, 则x为全体实数 二、二元一次方程组 形如： （a1与b1不同时为0； a2与b2不同时为0）的方程组，称为二元一次方程组。 二元一次方程组的解法： 方法一：加减消元法 (1)×b2 － (2)×b1可消去y，得： 从所得的一元一次方城解出x,再将x的值代入（1）式（或者（2）式），即可求出y的值，从而得到方程组的解。 方法二：代入消元法 由(1)式可得： ，将其代入（2）式可消去y，得到关于x的一元一次方程，解之即可。 三、一元二次方程： 1、标准形式为：ax2+bx+c=0(a≠0) 2、解法： ① 因式分解法：把方程化为形如 的形式，则解为 如： 6x2+x-2=0 (2x-1)(3x+2)=0 x1=1/2 x2=-2/3 ② 配方法： ③ 公式法：将配方后的结果直接用做公式使用。 四、一元二次方程的判别式：a2+bx+c=0 (a≠0) Δ=b2-4ac ①当Δ>0时，有两个不相等的实数根。 ②当Δ=0时，有两个相等实数根。 ③当Δ<0时，方程无实根。 五、一元二次方程根与系数的关系： 设 的两根为 ，则有 例2.1 解下列方程或方程组 （1） （2） （3） 解：（1）去分母，原方程化为 （2）原方程化简，得 （3） 得 把 代入 得 原方程组的解为 例2.2 若 是方程 的两个根，求下列各式的值。 （1） （2） （3） （4） 解： 是方程 的两个根，由根与系数的关系，得 （1） （2） （3） （4） 例2.3 解： 所以选（B） 例2.4 （1） （2） 解：记题x1和x2为 的两个根，则题干 所以条件（1）不充分，条件（2）充分，选（B） 例2.5 （1） （2） 是方程 的两个实根 解：由条件（1）得 或 但无法确定 的值，所以条件（1）不充分。 由条件（2），令 则 原方程化为 所以 或 当 时，即 ， ，所以由根与系数的关系 当 时，即 ， ，由于 此方程无实根 所以条件（2）充分 故此题应选B 五、不等式和不等式组 对于含有未知数的不等式，能使其成立的未知数的值的集合，叫做这个不等式的解集。 由若干个含有未知数的不等式组成的不等式组的解集，就是组成不等式组的所有不等式解集的公共部分（即交集）。 不等式（组）解集的区间表示法 满足 的 的集合叫做开区间，记为 ； 满足 的 的集合叫做闭区间，记为 ； 满足 或 的 的集合叫做半闭半开区间或半开半闭区间，记为 或 ； 满足 或 的 的集合记作 或 ；实数集 记作 。 不等式的同解变形： 1）移项：不等式中的任意一项，都可以改变符号从不等式一边移到另一边； 2）不等式的两边同乘（或除）以一个正数，不改变不等号的方向；不等式的两边同乘（或除）以一个负数，必须改变不等号的方向； 3）非负值不等式两边可以同时 次方或开 次方。 1、不等式的基本性质 不等式的基本性质有三条： ① ② ③ 2、绝对值不等式 （1）解|x|a类型的不等式 以和 和 为例，由绝对值的定义，结合数轴，不等式 表示数轴上的点到原点的距离小于2的点的集合．数轴上表示如图：   因此不等式 的解集为 同理，不等式 表示数轴上的点到原点的距离大于2的点的集合．数轴上表示如图：   由此可得： ；若 则 的解集为R． ；若 时，则 的解集为 ． (2)|ax+b|c这两种类型的不等式解法 则有： 通过以上变形去掉绝对值符号． 3．一元二次不等式 (1)一元二次不等式的定义 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是： ，或（a≠0）． (2)二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系 判别式 △>0 △=0 △<0   二次函数 的图象         一元二次方程 的根   有两个不相等的实根   有两个相等的实根   没有实根 一元二次不等式的解集   （a>0） {x|xx2}  {x|x∈R,且x≠}   实数集R   （a>0）   {}     二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集． 例2.6 解下列不等式或不等式组： （1） （2） （3） （4） 解：（1）不等式两边同乘以6，得 即 （2）原不等式组化为 （3）原不等式化为 （4）原不等式化为 例2.7 不等式 的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） （E）以上结论均不正确 解：不等式可化成 用列表法或数轴法可知答案为（A） 例2.8 若一元二次方程 有两个实根，则 的取值范围是（ ） （A） 或 （B） （C） 且 （D） 且 （E） 且 解：依题意，由根的判别式知 且 于是 所以 的取值范围是 且 ，选（D） 例2.9 已知一元二次不等式 的解为 或 则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解：由已知，相应的一元二次方程的两根为 和5，依韦达定理，得 所以 ，选（D） 例2.10 对于 不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解：原不等式化为 （1）当 时 （2）当 时，得 恒成立，知 时也适合 综上可得 选（C） 例2.11 要使方程 的两根分别满足 ,实数 的取值范围应是（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解：依题意，设 则 所以 的取值范围是 ，选（A） 例2.12 函数 的定义域为（ ） （A） （B） （C） （D） （E）以上结论均不正确 解：令 或 所以答案为（A） 例2.13 条件充分性判断 不等式 成立 （1） （2） 解：不等式 成立的充要条件是 对于条件（1） ，所以条件（1）单独充分 对于条件（2） ，所以条件（2）单独不充分 所以本题应选（A） 六、应用题 一）行程问题： 解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。 这种题的类型有： 1． 类型一： C 例2.14 从甲地到乙地，客车行驶需要12小时，货车行驶需要15小时，如果两列火车从甲地开到乙地，客车到达乙地后立即返回，与货车相遇时又经过了（ ）。 (A)1小时 （B） 小时 （C） 小时 （D） 小时 （E） 小时 解：设甲、乙两地的距离为 从而客车行驶的速度为 货车行驶的速度为 当客车到达乙地时货车行驶的路程为 还剩下的路程为 所以客车到达乙地后立即返回与货车相遇时又经过的时间为 （小时） 因此答案为（B） 例2.15 甲、乙两列火车对开，甲比乙先出发1小时，甲、乙分别行驶了75千米和25千米后相遇，已知甲、乙两列火车的速度和为100千米/小时，则乙出发后（ ）小时与甲相遇。 （A） （B） （C） （D） （E） 解：设乙出发后 小时与甲相遇，从而相遇时甲所花的时间为 小时，因此 所以选（A） 例2.16 A车以110千米/小时的速度由甲地驶往乙地，同时B,C两车分别以90千米/小时和70千米/小时的速度自乙地驶向甲地。途中A车与B车相遇1小时后才与C车相遇，则甲、乙两地的距离为（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解：设甲、乙两地的距离为 千米，根据题意得 解得 千米，故选（D） 例2.17 两个码头相距198千米，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要6小时，逆流而上行完全程需要9小时，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别为（ ）千米/小时。 （A）27.5和5.5 （B）27.5和11 （C）26.4和5.5 （D）26.4和11 （E）以上结论均不正确 解：设该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别为 ，依题意有 所以答案为（A）。 2．类型二：同向 等量关系：（经历时间相同） （S代表周长，S甲代表甲走了的路程，S乙代表乙走了的路程） 例2.18 甲乙两人在400米的跑道上参加长跑比赛，甲乙同时出发，甲跑3圈后第一次遇到乙，如果甲的 平均速度比乙的平均速度快3米/秒，则乙的平均速度为（ ） （A）5米/秒 （B）6米/秒 （C）7米/秒 （D）8米/秒 （E）9米/秒 解：设乙的平均速度为 ，则有 ，故答案为（B） 3．类型三：逆向 （S代表周长，S甲代表甲走了的路程，S乙代表乙走了的路程） 例2.19 （充分性判断）甲、乙两人同时从椭圆形的跑道上同一起点出发，沿着顺时方向跑步，甲比乙快，可以确定甲的速度是乙的速度的1.5倍。 （1）当甲第一次从背后追上乙时，乙跑了两圈 （2）当甲第一次从背后追上乙时，甲立即转身沿着逆时针跑去，当两人再次相遇时，乙又跑了0.4圈 解：这是追击（或相遇、行程）问题 条件（2）相遇之后到下次相遇，甲、乙总行程为一圈，甲走了0.6s,乙走了0.4s 二）、酒精问题：根据溶质守恒 解题提示：根据溶质守恒，来分析浓度的变化。 例2.20 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积之比是3：1，而另一个瓶子中酒精与水的体积之比为4：1，若将两瓶酒精混合，混合液中酒精与水的体积之比为（ ）。 （A）30：9 （B）31：9 （C）31：8 （D）30：8 （E）29：9 解：设瓶子的体积为 从而可知两瓶溶液混合之前酒精与水的体积分别为 与 ， 因此混合后的溶液中酒精与水的体积之比为 所以答案为（B） 例2.21 一桶纯酒精倒出8升后，用清水补满，，然后又倒出4升，再用水补满。此时测得酒精与水之比为18：7。则此桶水的容积是（ ） （A）28升 （B） 30升 （C） 40升（D） 48升（E）60升 三）、工程（放水）问题 解题提示：遇到此类问题，通常将整个工程量（放水量）看成单位1，然后根据题干条件按比例求解。 例2.22 一个水池，上部装有若干同样粗细的进水管，底部装有一个常开的排水管，当打开4个进水管时，需要4小时才能注满水池；当打开3个进水管时，需要8个小时才能注满水池，现在需要2个小时内将水池注满，至少要打开进水管（ ）。 （A）8个 （B）7个 （C）6个 （D）5个 （E）4个 解：设每小时每个进水管进水量为 排水管排水量为 水池容量为1，则有 若设要有 个进水管进水，有 故本题应选（C） 例2.23 某项任务甲4天可以完成，乙5天可以完成，而丙需要6天完成，今甲、乙、丙三人依次一日一轮换工作，则完成此任务需要（ ）天。 （A） （B） （C） （D） （E） 解：甲每天完成总工作量的 ，乙每天完成总工作量的 ，丙每天完成总工作量的 ，甲、乙、丙三人依次轮换工作，三天后完成工作总量的 四天后完成总工作量的 剩下总工作量的 由乙完成，还需要 因此完成任务共需要 天。 故选（C） 例2.24 甲、乙两人加工一批零件，已知甲单独加工要10小时完成，而甲和乙的工作效率之比为8：5，现两人共同做了2小时之后，还剩下270个零件未加工，这批零件共有（ ）个。 （A）360 （B）400 （C）460 （D）500 （E）560 解：设这批零件共有 个。乙单独加工这批零件每小时完成任务的 ，则有 所以答案为（B）。 课后练习 一、选择题 1．甲单独做15天可完成的某项工作，乙单独做10天就可完成。假设甲先做了12天后再由乙接下去做，乙要完成该项工作还需做（ ） （A） 天 （B） 天 （C） 天 （D）2天 （E） 天 2．装满咖啡豆的玻璃瓶，瓶重占总重量的20%，倒出一部分咖啡豆后，剩下的总重量是原装总重量的60%，则剩下的咖啡豆是原来咖啡豆重量的（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 3．一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速每小时必须增加5公里，才能准时到达B地。则汽车后来的速度是（ ） （A）40公里/小时 （B）45公里/小时 （C）50公里/小时 （D）55公里/小时 （E）A、B、C、D都不正确 4．用绳子量井深，把绳子三折来量，并外余绳4尺；把绳子四折来量，并外绳1尺，则绳子的长度是（ ） （A）30尺 （B）40尺 （C）45尺 （D）36尺 （E）38尺 5．今年父亲的年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，那么2年前，父亲比儿子大（ ） （A）25岁 （B）26岁 （C）27岁 （D）28岁 （E）29岁 6．王先生和汪先生同时驾车自A市到B市，二市相距500公里。王先生的车速较汪先生快20公里/小时，结果王先生到1小时15分钟。王先生的车速是汪先生的（ ） （A）2倍 （B） 倍 （C） 倍 （D） 倍 （E） 倍 7．某项工程，若甲队单独做，会比乙队单独做多用5天完成。如果两队同时做，则6天就可全部完成。则甲队单独做一天可以完成工程量的（ ） （A） （B） （C） （D） （E）以上答案都不对 8．一容器盛满纯药液63升，第一次倒出部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液是28升，那么每次倒出的液体是（ ） （A）18升 （B）19升 （C）20升 （D）21升 （E）22升 9．B集团有甲、乙两个企业。甲企业有员工140人，1995年实现人均利税1.2万元，1996年较1995年人均利税增加10%。乙企业有员工60人，1995年实现人均利税1.5万元，1996年较1995年人均利税增加8%。则B集团1996年的人均利税比1995年增加（ ） （A）9.302% (B)10% (C)15% (D)12% (E)13.2% 10．A、B两架飞机同时从相距1755公里的二机场起飞匀速相向飞行，经过45分钟后在途中到达相同地点。如果A机的速度是B机的 倍，那么两飞机的速度差是每小时( ) (A)250公里 (B)260公里 (C)270公里 (D)280公里 (D)285公里 11．夜10点，盗窃犯窃取一汽车后以每小时120公里的速度逃窜，45分钟后当地公安局接到报案，警察立即开车以140公里/小时的速度按原路追赶，则警察追上该盗窃犯时，恰为（ ） （A）夜12点半 （B）凌晨3点15分 （C）凌晨5点 （D）夜12点 （E）A、B、C、D都不正确 12．一蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管，单独开放甲管，45小时可以注满全池；单独开放乙管，60小时可注满。如果三管一齐开放，注满水池需（ ） （A）10小时 （B）15小时 （C）20小时 （D）25小时 （E）27小时 13．孙经理用24000元买进甲、乙股票各若干元，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时全部抛出，他共赚得1350元。则孙经理购买甲股票的金额与乙股票的金额的比是（ ） （A）10：7 （B）5：3 （C）5：6 （D）5：7 （E）7：10 14．某种细菌在培养过程中每15分钟分裂一次（即一个分裂成两个），培养器中原有细菌3个，2小时后，这三个细菌分裂成（ ） （A）1000个 （B）10000个 （C）768个 （D）888个 （E）868个15．已知关于x的一元二次方程 有实根，则m,n的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 16．当m＜-1时，方程 的根的情况是（ ） （A）两负根 （B）两异号根且负根绝对值大 （C）无实根 （D）两异号根且正根绝对值大 （E）A、B、C、D都不正确 17．若方程 两根之差为1，则a的值是（ ） （A）9和-3 （B）9和3 （C）-9和3 （D）-9和-3 （E）9和-2 18．若方程 的一个根大于1，另一根小于1，则m的取值范围是（ ） （A）m＜-1 （B） ＜1 （C）0＜m＜1 (D)m≤-1 （E）A、B、C、D都不正确 二、解答题 19．解下列方程 （1） （2） （3） （4） （5） 20．解下列不等式（组） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 21．解下列不等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 三、充分性判断 22．方程 的两根之差的绝对值大于2 （1）1＜m＜2 （2）-5＜m＜-2 （提示：将方程 的两根之差的绝对值大于2，转化为它的等价命题： ，……，再判断） 23．实数k的取值范围是 （1）关于x的方程kx+2=5x+k的根为非负实数 （2）抛物线 位于x轴上方 24．王先生购买甲、乙两种股票各若干股，其中买甲股票的股数比乙股票的股数多 （1）甲股票每股8元，乙股票每股10元 （2）当甲股票上扬10%，乙股票下跌8%时，王先生将这两种股票全部抛出后获利 25．A、B两地相距S公里，甲、乙两人同时分别从A、B两地出发。甲每小时走的距离与乙每小时走的距离之比为3：2。 （1）甲、乙相向而行，两人在途中相遇时，甲走的距离与乙走距离之比为3：2 （2）甲、乙同向而行，甲追上乙时，乙走的距离为2S 26．甲、乙两人沿椭圆形跑道跑步，且从同一条起跑线同时出发，可以确定甲比乙跑得快。 （1）沿同一方向跑步，经过10分钟后甲从乙的背后追上了乙 （2）沿相反方向跑步，经过2分钟后，甲乙两人在跑道上相遇 第三章 数列 第一节 基本概念 定义 依一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 数列的一般表达形式为 或简记为 其中 叫做数列 的通项。如果通项 与 之间的函数关系可以用一个关于 的解析式 表达，则称 为数列 的通项公式。 如数列 的一个通项公式为 知道了一个数列的通项公式，就等于从整体上掌握了这个数列，即由通项公式可求出这个数列中的任意一项；对任意给出的数可以确定它是否是该数列中的项。 如在上面给出的数列中，由 ，可以求出 也可以断定 不是该数列中的项，而由 得 即 是已知数列中的第7项。 数列的前 项的和记做 对于数列 显然有 故 当 时， 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 例3.1 已知数列 的前 项的和记做 求数列的通项公式。 解：当 时， 当 时， 把 代入 中，得 与 不符 所以数列 的通项公式为 例3.2 条件充分性判断 数列 的前两项为 （1）数列 的通项公式为 （2）数列 的通项公式为 解：条件（1）和条件（2）中所给数列的通项公式，分别将 代入，所求 的值均与 相同，故条件（1）与条件（2）单独都充分，故应选（D）。 第二节 等差数列 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母 表示。即 数列 是等差数列 （常数） 2.等差中项：如果 成等差数列，则 叫做 的等差中项，且 3．通项公式 (1) (2) (3) (4) 分析：（1） （2） 若 （常数列），则 （3）常数项≠0 （4） 5、重要公式及性质 （1）通项 ，当 时成立 注意：(1)等式两边项的个数要相同。 (2)等式两边各项的角标之和要相同。 例： 上述结论也可以推广到到多个的情况，例： 要记住： 例3.4 等差数列 中，已知 求 和 解: 所以 例3.5 已知 为等差数列， ， ，则 为（ ） （A）30 （B）27 （C）24 （D）36 （E）以上都不对 解： 则 （2）前n项和性质 EMBED Equation.DSMT4 为等差数列前n项和，则 仍为等差数列 例3.6 若 求 为（ ） （A）260 （B）270 （C）-270 （D）280 （E）以上都不对 解： 成等差数列 等差数列 和 的前n项和分别用 和 表示，则 分析： 例3.7 为等差数列前n项和，能确定 的值为 （ ） （1） （2） 解：条件(1)只给出了等差数列的首项表达，显然不能支持题干。 由条件(2)的表达式，有 ，这与题干相符。 所以选（B） 例3.8 一个等差数列的首项为21，公差为 当 取何值时，前n项和为最大？ 解：因为公差 所以该等差数列为递减数列 由不等式组 得到 ，所以当 或 时前n项和为最大。 第三节 等比数列 1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，用字母 表示。即 数列 是等比数列 （常数） 注意：等比数列中任一个元素都不为0 2、通项： 3、等比中项：如果 成等比数列，则 叫做 的等差中项，且 4、前n项和公式： 对于无穷等比递缩 数列，所有项和为 5、等比数列性质 1）通项性质： 注意：(1)等式两边项的个数要相同。 (2)等式两边各项的角标之和要相同。 例： 2) 为等比数列前n项和，则 仍为等比数列 例3.9 一个无穷等比数列所有奇数项之和为45，所有偶数项之和为-30，则其首项等于（ ） （A）24 （B）25 （C）26 （D）27 （E）28 解：设首项为 公比为 ，则奇数项组成的数列首项为 公比为 ，偶数项组成的数列首项为 ，公比为 ，故有 两式相除得 ，代回求得 ，故选（B） 例3.10 等差数列 中， 公差 且 依次是某等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是（ ）。 （A） （B） （C） （D） （E）不能确定 解：因为 由于 依次是某等比数列的前三项，即 从而 ，所以该等比数列的第四项为 ，故选（A） 例3.11 条件充分性判断 解：方程有实根的充要条件是判别式 。 答案是：B 例3.12 实数 成等比数列 （1）关于 的一元二次方程 有两相等实根 （2） 成等差数列 解：由条件（1），关于 的一元二次方程 有两相等实根，得 且 ，即 此等式当 时也成立，但若 时，则 不能组成等比数列 所以条件（1）单独不充分 由条件（2）可知 有意义，所以 又 成等差数列可得 所以 ，且 均不为零，从而条件（2）单独充分。 故应选（B） 6、特殊数列 1）、差分求和法 求 2）、即成等差又成等比的数列：非零的常数列 例3.13 已知a、b、c既成等差又成等比，设 是方程 的两根，且 ，则 （A） （B） （C） （D） （E）以上都不对 解：a=b=c≠0 非零常数 方程化为： 课后练习 一、选择题 1、若数列 的前n项和 则它的通项公式是 （A） 　　　　　　 （B） （C） 　　（D） 　 （E）A、B、C、D都不正确 2、已知 是等差数列， 等于 （A）30　　（B）27　　（C）24　　（D）21　　（E）20 3、在等比数列 中，已知 （A）63　　　（B）68　　（C）76　　（D）89　　（E）92 4、设 中G分别等于 （A）A＝14，G＝6　　　　　　 （B）A＝－14，G＝ （C）A＝14，G＝36　　　　　　（D）A＝－14，G＝ （E）A、B、C、D都不正确 5、在等差数列中，已知 EMBED Equation.DSMT4 （A）132　　　（B）144　　（C）147　　（D）154　　（E）157 6、在－12和6之间插入n个数，使这n+12个数组成和为－21的等差数列，则n为 （A）4　　（B）5　　（C）6　　（D）7　　（E）8 7、若 是等比数列，下面四个命题中 ①数列 也是等比数列 ②数列 也是等比数列 ③数列 也是等比数列 ④数列 也是等比数列 正确命题的个数是 （A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个　　（E）0个 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 二、解答题 EMBED Equation.DSMT4 三、条件充分性判断 · · · · c b 0 a x · · · · a b 0 c x _1201775803.unknown _1204377542.unknown _1204465718.unknown _1204483122.unknown _1204490178.unknown _1205435027.unknown _1205503867.unknown _1205504693.unknown _1205504885.unknown _1205507485.unknown _1205508467.unknown _1205508480.unknown _1205508304.unknown _1205508444.unknown _1205508148.unknown _1205504922.unknown _1205504759.unknown _1205504869.unknown _1205504744.unknown _1205504338.unknown _1205504386.unknown _1205504163.unknown _1205497145.unknown _1205497676.unknown _1205499502.unknown _1205499577.unknown _1205497692.unknown _1205497491.unknown _1205435149.unknown _1205435228.unknown _1205435109.unknown _1205421802.unknown _1205422233.unknown _1205434777.unknown _1205434821.unknown _1205422244.unknown _1205421850.unknown _1205422160.unknown _1205421828.unknown _1204528581.unknown _1205421695.unknown _1205421741.unknown _1205421757.unknown _1205421721.unknown _1204528704.unknown _1205421639.unknown _1205421670.unknown _1204528749.unknown _1204530684.unknown _1204528728.unknown _1204528610.unknown _1204528672.unknown _1204528687.unknown _1204528652.unknown _1204528595.unknown _1204526116.unknown _1204527757.unknown _1204528565.unknown _1204526141.unknown _1204525854.unknown _1204526093.unknown _1204525764.unknown _1204485441.unknown _1204487466.unknown _1204488570.unknown _1204489182.unknown _1204489294.unknown _1204489372.unknown _1204489438.unknown _1204489590.unknown _1204489653.unknown _1204489545.unknown _1204489415.unknown _1204489313.unknown _1204489227.unknown _1204488726.unknown _1204489147.unknown _1204488762.unknown _1204489099.unknown _1204488639.unknown _1204488654.unknown _1204488621.unknown _1204487686.unknown _1204488509.unknown _1204488550.unknown _1204488492.unknown _1204487635.unknown _1204487667.unknown _1204487480.unknown _1204486813.unknown _1204487137.unknown _1204487255.unknown _1204487267.unknown _1204487223.unknown _1204