黄昆固体物理解答第四章

黄昆 固体物理 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答 第四章 能带理论 4.1，根据 k a π= ± 状态简并微扰结果，求出与 E−及E+相应的波函数ψ−及ψ+ ?，并说明它 们的特性．说明它们都代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 驻波，并比较两个电子云分布 2ψ 说明能隙的来源(假设 = )。 nV *nV ＜解＞令 k a π= + ， k a π′ = − ，简并微扰波函数为 0 0( ) ( )k kA x B xψ ψ ψ= + 0 *( ) 0nE k E A V B⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ 取( )0 0nV A E k E B′⎡ ⎤+ −⎣ ⎦ = E E+= 带入上式，其中 0 ( ) nE E k V+ = + V(x)<0,V ,从上式得到 B= -A,于是 0n < 0 0( ) ( ) n ni x i x a a k k AA x x e e L π π ψ ψ ψ −′+ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 2 sinA n x aL π 取 ，E E−= 0 ( ) nE E k V− = − ,n nV A V B A B= − =得到 0 0( ) ( ) n ni x i x a a k k AA x x e e L π π ψ ψ ψ −′− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 2 cosA n x aL π 由教材可知， +Ψ 及 均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度−Ψ ( )kν 为零．产生 驻波因为电子波矢 nk π a = 时，电子波的波长 2 2a k n πλ = = ，恰好满足布拉格发射条件，这 时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。 4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 2 k π a = 的 0 级波函数。 ＜解＞ 2 2 ( )* 2 41 1 1 1( ) i mx i x i mx i m xikx ikx a a a a k x e e e e e eL L L L π π π π2 1 ψ += = = ⋅ =r 第一能带： * 210, 0, ( ) 2 i x a km m x ea L ππ ψ⋅ = = = 第二能带： 2 3 * 22 2 1, , 1, ( ) x i x a a kb b b b m m x ea a L π πππ π ψ′ ′= → ⋅ = − = − ∴ =i i2a则 即 （e =e ） 第三能带： 2 5 * 2 22 2 1 1, , 1, ( ) i x i x i x a a a kc c m m x e e ea a L L π π ππ π ψ′→ ⋅ = = = ⋅ =即 解答（初稿）作者 季正华 - 1 - 黄昆 固体物理 习题解答 4.3 电子在周期场中的势能． 2 2 2 1 ( ) , 2 m b x naω ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ na b x na b − ≤ ≤ +当 ( )V x = 0 ， x na b≤ ≤ −当(n-1)a+b 其中 d＝4b，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示． (2)势能的平均值：由图可见， 是个以a为周期的周期函数，所以 ( )V x 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) a a b L b b V x V x V x dx V x dx L a a − −= = =∫ ∫ ∫ 题设 ，故积分上限应为 ，但由于在4a = b 3a b b− = [ ],3b b 区间内 ，故只需在( ) 0V x = [ ],b b− 区间内积分．这时， ，于是 0n = 2 2 2 2 2 31 1( ) ( ) 2 2 3 b b b b b bb b m mV V x dx b x dx b x x m a a a ω ω 21 6 bω− −− − ⎡ ⎤= = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 2 0 0 0 2 1( ) cos , ( ) cos ( ) cos 2 2 2 2 b b m m m m mV x V V x V V x xdx V x xdx b b b b b π π∞ =−∞ ′= + = =∑ ∫ ∫ mπ 1 1 2 2 2 1 0 2 , 1 ( )cos 2 b g g m xE V m E b x dx b b ω π= = = −∫第一个禁带宽度 以 代入上式, 利用积分公式 ( )2 2 32cos sin 2cos sinuu mudu mu mu mu mum m= + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 得 2 2 3 16m bωπ=1gE 第二个禁带宽度 2 22 , 2gE V m= =以 代入上式,代入上式 2 2 2 2 0 ( ) cos b g m xE b x b b ω π= −∫ dx再次利用积分公式有 2 222m bωπ=2gE 4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带 解答（初稿）作者 季正华 - 2 - 黄昆 固体物理 习题解答 )(kEs v 函数 解：面心立方晶格—— s 态原子能级相对应的能带函数 ∑ = ⋅−−−= NearestR Rki ss s s seRJJkE vvvv )()( 0ε —— s 原子态波函数具有球对称性 0* 0 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( )} 0s i s iJ J R R U V dϕ ξ ξ ξ ϕ ξ ξ= = − − − >∫ v v v v vv v 0 1( ) s s ik Rs s R Nearest E k J J eε − ⋅ = = − − ∑ v vv —— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有 12 个 12 个最邻近格点的位置 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −− − − 0, 2 , 2 0, 2 , 2 0, 2 , 2 0, 2 , 2 aa aa aa aa ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −− − − 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 2 , 2 ,0 aa aa aa aa ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −− − − 2 ,0, 2 2 ,0, 2 2 ,0, 2 2 ,0, 2 aa aa aa aa 0 2 2s a aR i j= + + kvv v v 0 1( ) s s ik Rs s R Nearest E k J J eε − ⋅ = = − − ∑ v vv ( ) ( 0 ) ( ) 22 2 2 4 (cos sin )(cos sin ) 2 2 2 2 x y z x y s a a ai k i k j k k i j k i k kik R y yx x e e e b k a k ak a k ai i − + + ⋅ + + − +− ⋅ = = = − − v vv v v vv v ac− 的能带 —— 类似的表示共有 12 项 —— 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应 0 1 ( )sE k ε= −v 4 (cos cos cos cos cos cos ) 2 2 2 2 2 2 s y yx x z z J k a k ak a k a k a k aJ− + + — 对于体心立方格子，任选取一个格点为原点 — 解答（初稿）作者 季正华 - 3 - 黄昆 固体物理 习题解答 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −− − −−− 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 aaa aaa aaa aaa ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −− − −− − 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 aaa aaa aaa aaa 2 2 2s a a aR i j= + + kvv v v 0 1( ) s s ik Rs s R Nearest E k J J eε − ⋅ = = − − ∑ v vv ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 2 2 2 2 2 x y z x y z s a a a ai k i k j k k i j k i k k kik R y yx x z z e e e k a k ak a k a k a k ai i i − + + ⋅ + + − + +− ⋅ = = = − − − v vv v v vv v 2 —— 类似的表示共有 8 项 —— 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带 2 cos 2 cos 2 cos8)( 10 akakakJJkE zyxs s −−= εv 4.7,有一一维单原子链。间距为 a。总长度为 Na。求（1），用紧束缚近似求出原子 s 态能级 对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子 s 态只有一 个电子，求等于 T=0K 的费米能级 0FE 及 0FE 处的能态密度。 ＜解＞ 0 1 0 1 0 1(1), ( ) ( ) 2 cos 2 cosika ikas sE k J J e e J J ka E J kaε ε−= − − + = − − = − r 0( ) ( ) s ik R sE k E J J p e − ⋅⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ rr (2) , 1 1 2 1( ) 2 2 2 2 sin L dk Na NN E dE J a ka J kaπ π π= × × = × = sin (3), 0 0 0 0 0 22 ( ) 2 2 2 2 2 Fk F F F NakNaN k dk k k a πρ π π= ⋅ = ⋅ ⋅ = ∴ =∫ r 0 0 0 1 1 1 ( ) 2 cos , ( ) 2 sin 2 F F s F N NE E k E J a E N E a JJ a a π π ππ = = − ⋅ = = = ⋅ 4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2 倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上 大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 ＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2 2ˆ ˆ,A i B j a a π π= = 解答（初稿）作者 季正华 - 4 - 黄昆 固体物理 习题解答 第一布里渊区如图所示 ( )2 2 2 2 ˆ ˆ, . , 2 B x y z i B K i a a K K K m π π ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + +h A区边中点的波矢为K 角顶 点的波矢为 自由电子能量 a π a π− 0 π− jˆ a π+ 2 22 2 2 2 , 2 2 2A x K m m a m a π πε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h h hA点能量 ( ) 2 2 22 2 22 2 2 , 2 2 2B x y K K m m a a m π π πε a ⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = ⎤⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ h h hB点能量 ⎦ 所以 / 2B Aε ε = b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 2 2 2 ˆˆ ˆ, ,A i B j C a a a π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,k 第一布里渊区如图 7—2 所示． 22 ; 2A m a πε ⎛ ⎞== ⎜ ⎟⎝ ⎠ hA点能量 解答（初稿）作者 季正华 - 5 - 黄昆 固体物理 习题解答 ( ) 2 2 2 22 2 22 2 2 3 ,2 2 2B x y zK K Km m a a a mπ π π πε a ⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + = ⎤⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ h h hB点能量 ⎦ 所以 / 3B Aε ε = (c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子 理论，自由电子的能量为 (2 2 2 22 )x y zK K Kmε = + +h ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内 切于 4 点的内切球的体积 34 3 a π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 ( ) 3 3 4 2 1.047 3 32 V N a π π π π ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ � � N 其中 3V Na= 二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子， 余下的 0.953 个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余 下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)．这样，晶体将只有绝缘体性 质．然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事 实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区 能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较 低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面．因此，一区中有空态存在，而二区中 有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结 构，能带出现重达，所以可以导电． 4.9 半金属交叠的能带 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 ( ) (0) , 0.18 2 ( ) ( ) ( ) , 0.06 2 kE k E m m m E k E k k k m m m = − = = + − = h v vh 其中 为能带 1 的带顶， 为能带 2 的带底. 1(0)E 2 0( )E k 1 2 0(0) ( ) 0.1E E k eV− = 由于能带的 交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论 时的费 密能级 0T = K 解：半金属的能带 1 和能带 2 如图所示 2 2 1 1 1 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) 2 E k k k m = + −v vh 0 ( ) (0) 2 kE k E m E k = − h 1 1 12 [ (0) ( )]m E E kk −= h 解答（初稿）作者 季正华 - 6 - 黄昆 固体物理 习题解答 能带 1 的能态密度 1 3( ) 2 (2 ) k V dSN E Eπ= ∇∫ 2 1 k kE m ∇ = h 1 12[ (0) ( )] /kE E E k∇ = −h 1m 1 3( ) 2 (2 ) k V dSN E Eπ= ∇∫ 2 1 3 1 1 4( ) 2 (2 ) 2[ (0) ( )] / V kN E E E k m π π= −h 1 3 1 2 1 12 2 22( ) ( ) (0) ( ) (2 ) mVN E E E kπ= −h 1 同理能带 2 的能态密度 3 2 2 2 22 2 22( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) mVN E E k E kπ= −h 2 0 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带 1 中的电子填 充到能带 2 中，满足 0 1(0) 0 2( )0 1 2( ) ( ) F F k E E E E N E dE N E dE=∫ ∫ 1(0) 0 3 1 2 1 12 2 22 ( ) (0) ( ) (2 ) F E E mV E E k dEπ − =∫ h 0 2( )0 3 2 2 2 2 02 2 22 ( ) ( ) ( ) (2 ) F k E E mV E k E k dEπ −∫ h 0 1(0) 0 2( )0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0[ (0) ( )] [ ( ) ( )] F F k E E E E m E E k m E k E k− − = − 0 0 1 1 2 2 0[ (0) ] [ ( )]F Fm E E m E E k− = − 3 2 0 1 1 2 2 0 F 1 2 m E (0)+m E (k )E = m +m ( 1 20.18 , 0.06m m m m 1 2 0(0) ( ) 0.1E E k e= = V− = ) 0 2 0( ) 0.075FE E k eV= + 4.12，正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为 ( ) 2 2, 4 cos cos .x yU x y U a a π π⎛ ⎞ ⎛= − ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ 用基本方程，近似求出布里渊区角 , a a π π⎛ ⎞⎜⎝ ⎠⎟处的能隙． ＜解＞以 表示位置矢量的单位矢量，以 表示倒易矢量的单位矢量，则有，ˆ ˆ,i j 1 2ˆ ˆ,b b 解答（初稿）作者 季正华 - 7 - 黄昆 固体物理 习题解答 ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 22ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,r xi yi G G b G b g b g b g ga ,π= + = + = + 为整数。 晶体势能 ( ) 2 2, 4 cos cos .x yU x y U a a π π⎛ ⎞ ⎛= − ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 11 11 11 i x i x i y i y iG G G U r U e e e e U e π π π π σ σ σ σ− −⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ( ) ( ) ( )11 10 20 ... 0G GU U U U= − = = =其中 ，而其他势能傅氏系数 G 。这样基本方程 ( ) ( ) ( ) 0k G G C K U G K Gλ ε− + − =∑ 变为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11 11 1 1 11 1 1 11 11 11 0K G G G GC K U C K G U C K G U C K G U C K Gλ ε− + − + − + − + − = 求布里渊区角顶 , a a π π⎛ ⎞⎜ ⎟，即⎝ ⎠ ( ) 1 1 1( , ) 11 2 2 2 k G 处的能隙，可利用双项平面波近 似 G= = ( )( ) ( )iKr i K G rC K e C K G e −Ψ = + − 来处理。 当 ( ) ( )1 111 , 11 2 2 K G K G= = − 时依次有 ( ) ( ) ( ) ( )1 111 11 , 1 1 112 2K G G K G G− = − − = + 而其他的 ( )11K G− ， ( ) ( )11 11K G G− > ， 所 以 在 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 111 , 11 11 ; 2 2 1 111 , 1 1 11 ; 2 2 C G C K G C G C G C K G C G ⎛ ⎞ ⎛− = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎛− = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 2 1 11 2 1 111 11 0 2 2 1 111 11 0 = ⎞ =⎟⎠2 2 G G C G UC G C G UC G λ ε λ ε − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ( )1 11 2 G λ ε− − u u− ( )1 11 2 G λ ε − − =0，因为 ( ) ( ) ( ) 22 2 1 1 211 11 2 2 1 11 2 2G G G m m 2 a πλ λ λ − ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ h h 2 2 2 2 2( ) 0U U ma πλ ε ε λ− − = ± = ,U±h由行列式有 解得 = 解答（初稿）作者 季正华 - 8 - 黄昆 固体物理 习题解答 4.13. 证明面心立方晶体 S 电子能带 E（K）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为： (1) 沿ΓX（Ky=Kz=0, Kx=2πδ／a，０≤δ≤1） E=Esa－A－4B（1＋2cosδπ） (2) 沿ΓL（Kx=Ky=Kz= 2πδ／a，０≤δ≤1/2） E=Esa－A－12Bcos2δπ (2) 沿ΓK（Kz=0, Kx= Ky=2πδ／a，０≤δ≤3/4） E=Esa－A－4B（cos2δπ＋2cosδπ） (4) 沿ΓW（Kz=0, Kx=2πδ／a，Ky=πδ／a，０≤δ≤1） E=Esa－A－4B（cosδπ× cosδπ/2－cosδπ－cosδπ/2） 解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公式，（教材 P184） Es（K）=Esa－A－4B（cos 2 a Kx·cos 2 a Ky+ cos 2 a Ky·cos 2 a Kz+ cos 2 a Kz·cos 2 a Kx） 把各方向的Kx、Ky、Kz 值代入上式即可得到相应的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，具体计算略。 补充习题 一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为 a ,电子的 波函数为 πψ a xxk sin)()1 = ∑∞ −∞= −−= m m k maxfix )()()()2 ψ πψ a xixk 3cos)()3 = ∑∞ −∞= −= l k laxfx )()()4 ψ 求电子在这些态中的波矢 解：根据布洛赫定理 ( ) (nik Rnr R e r )ψ ψ⋅+ = v vvv v 一维情形布洛赫定理 )()( xeax ikaψψ =+ 1）电子的波函数 πψ a xxk sin)( = ππψ a x a axaxk sinsin)( −=+=+ ( ) ( )k kx a xψ+ = − ( )ika ke xψ= ψ 1−=ikae 电子的波矢 a k π= )()( xeax ikaψψ =+ 2）电子的波函数 解答（初稿）作者 季正华 - 9 - 黄昆 固体物理 习题解答 ∑∞ −∞= −−= m m k maxfix )()()(ψ ∑+∞ ∞− −−−=+ ])1([)()( amxfiax mkψ ∑+∞ ∞− − −−−−= ])1([)( 1 amxfii m )()()( xilaxfii k l ψ−=−−−= ∑+∞ ∞− （ ，电子的波矢ieika −= a k 2 π−= ） )()( xeax ikaψψ =+ 3）电子的波函数 πψ a xixk 3cos)( = πψ a axiaxk )(3cos)( +=+ )(3cos x a xi kψπ −=−= 1−=ikae 电子的波矢 a k π= )()( xeax ikaψψ =+ 4）电子的波函数 ∑∞ −∞= −= l k laxfx )()(ψ ∑+∞ −∞= −−=+ l k alxfax ])1([)(ψ )()( xmaxf k m ψ=−= ∑+∞ −∞= 1=ikae 电子的波矢 0=k 补充习题 电子的能量为 2 )()( 2222 h z z y y x x k m k m k m kEkE +++= 求能态密度 解答（初稿）作者 季正华 - 10 - 黄昆 固体物理 习题解答 将电子能量改写为 1][ )(2 1 222 2 =++ − z z y y x x k m k m k m k EEh —— k 空间的一个椭球方程 半轴 a, b, c 分别为 2 1 2 ] )(2[ h kx EEma −= 2 1 2 ] )(2 [ h ky EEmb −= 2 1 2 ] )(2[ h kz EEmc −= 椭球在 k 空间的体积 abck π3 4=Ω k 空间的状态密度 3) 2 (2 π L 椭球内的状态数 abcLZ ππ 3 4) 2 (2 3 ⋅= 2/32/3 2 2/13 )()2()( 3 4) 2 (2 kzyx EEmmm LZ −= hππ dEEEmmmLdZ kzyx 2/12/12/3 2 3 )()()2( 3 4) 2 (2 2 3 −⋅= hππ 能态密度 2/12/12/3 22 3 )()()2( 2 )( kzyx EEmmm LEN −= hπ 解答（初稿）作者 季正华 - 11 -