数列求和的基本方法.

数列求和的基本方法 数列是高中代数的重要内容，数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 3、 4、 5、 例1 例1：求数列 ， ， ，…， ，…的前n项和。 解： ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝（1＋2＋3＋…＋n）+ = = 例2是否存在常数a,b,c使得等式1·22+2·32+……+n(n+1)2= (an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 解析：考查数列通项公式an=n(n+1)2=n3+2n2+n，则 1·22=13+2·12+1，2·32=23+2·22+2…… 故1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n) = +2· + = [3n(n+1)+4(2n+1)+6]= (3n2+11n+10), 故对于一切自然数n都存在a=3,b=11,c=10，使 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设等式成立。 (其中12+22+……+n2= n(n+1)(2n+1)，13+23+……+n3= ). 评注：直接运用等差数列或等比数列求和公式及正数平方和，立方和公式来求解。 例3. 求数列1,（3+5）,（7+9+11）,（13+15+17+19）,…,前n项的和。 解：在数列的前n项中共有1+2+3+…+n= 个奇数， 故最未一个奇数为：2· 因此，所求数列的前n项和为：Sn= 练习1 求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2+n2） 解：S =（1+2+3+…+n）n2 EMBED Equation.3 点评：此例在解法上与例2类似，它通过适当的变形采用化归思想，以公式法为基础达到了解题的目的。 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例4]求数列 前n项的和. 解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积 设 ……………① ………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 例5 求和： ………① 解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积 设 ………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 这样对吗？ 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .若一个数列和的各项系数是“首尾”对称的，则可采用此法。 例6 求证： 证明： 设 ① 又有 （反序） 又由 可得 ② ①+②得 （反序相加） ∴ 例7 求 的值 解：设 ① 将①式右边反序得 ②（反序） 又因为 ①+②得 ＝89 ∴ S＝44.5 练习：1 求和：Sn= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 解：Sn= 又 两式相加，并由 得 ∴ 练习2．已知函数f(x)满足对一切实数x，有 ，记 EMBED Equation.3 ，求 。 解：∵ EMBED Equation.3 ∴ 上两式相加，得 ＝ ＝ ∴ 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例8 求数列的前n项和： ，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1时， ＝ （分组求和） 当 时， ＝ 例9 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组） ＝ = （分组求和） ＝ 五、分类法。 例10：已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N*)，又bn=|an|，求{bn}的前n项和Tn. 解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=11-2n，又当n=1时，a1=S1=9适合上式， ∴an=11-2n(n∈N*)，则易知a5>0,a6<0， 故当n≤5时，bn=an，即Tn=Sn=10n-n2， 当n>5时，bn=-an，则Tn=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-an=2S5-Sn =50-(10n-n2)=n2-10n+50， 即Tn= . 评注：当数列通项公式中含(-1)n的因式时，需分n为偶数时和n为奇数时来讨论解决。 例11．一个数列 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时， ；求这个数列的前n项和。 解：∵ ∴ 构成首项是6，公差是10的等差数列， 构成首项是2，公比是2的等比数列。 ∴当n=2m时， ＝ ＝ ＝ 当n=2m＋1时， ＝ ＝ ＝ 练习：1求数列 的前n项和 解：当n为奇数时， 当n为偶数时， 点评：本题也可用错位相减法求和，但仍需分n为奇偶讨论。 六、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r （3） （4） （5） (6) 例12 求数列 的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝ 例13．求数列1， 的前n项和 ∴ 点评：例5中的求和，首先需对通项an的分母求和，然后再采用裂项求和，这是一道数列求和的综合考查题，考查学生的观察能力和综合运用知识的能力。 例14.求和： 解：则原式= 　　　　　　 = = 评注：如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)形式，可尝试采用此法，使用此法时必须注意有哪些项被消去，哪些项被保留。 例15：求证：1+ + +……+ >2 -2 解析：由于 = > =2( )，故1>2( -1)， >2( - )， >2( - )，则1+ + +……+ >2[( -1)+ ( - )+( - )+……+( )]=2( )>2 -2. 练习：1 在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和. 解：∵ ∴ （裂项） ∴ 数列{bn}的前n项和 （裂项求和） ＝ ＝ 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例16 数列{an}： ，求S2002. 解：设S2002＝ 由 可得 …… ∵ （找特殊性质项） ∴　S2002＝ （合并求和） ＝ ＝ ＝ ＝5 练习：1 在各项均为正数的等比数列中，若 的值. 解：设 由等比数列的性质 （找特殊性质项） 和对数的运算性质 得 （合并求和） ＝ ＝ ＝10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例17] 求 之和. 解：由于 （找通项及特征） ∴ ＝ （分组求和） ＝ ＝ ＝ [例16] 已知数列{an}： 的值. 解：∵ （找通项及特征） ＝ （设制分组） ＝ （裂项） ∴ （分组、裂项求和） ＝ ＝ 第 1 页 共 10 页 _1127840194.unknown _1205502011.unknown _1205690677.unknown _1205691185.unknown _1205691331.unknown _1205691431.unknown _1314973967.unknown _1314974130.unknown _1314973200.unknown _1205691398.unknown _1205691298.unknown _1205691021.unknown _1205691113.unknown _1205690766.unknown _1205689985.unknown _1205690397.unknown _1205690514.unknown _1205690282.unknown _1205688717.unknown _1205689922.unknown _1205502068.unknown _1205489359.unknown _1205500968.unknown _1205501563.unknown _1205501847.unknown _1205501254.unknown _1205500764.unknown _1205500866.unknown _1205489500.unknown _1205499203.unknown _1154151671.unknown _1154155961.unknown _1205488841.unknown _1205489010.unknown _1154156204.unknown _1205488480.unknown _1205488588.unknown _1205488637.unknown _1205488555.unknown _1154176821.unknown _1154176842.unknown _1154156066.unknown _1154156142.unknown _1154156020.unknown _1154155041.unknown _1154155874.unknown _1154155922.unknown _1154152097.unknown _1154152293.unknown _1154152386.unknown _1154152130.unknown _1154152052.unknown _1154151952.unknown _1154152022.unknown _1154151902.unknown _1127915862.unknown _1148727347.unknown _1154149239.unknown _1154151620.unknown _1154149166.unknown _1148726995.unknown _1148727126.unknown _1148725062.unknown _1127841463.unknown _1127844750.unknown _1127915562.unknown _1127883661.unknown _1127843492.unknown _1127843504.unknown _1127841623.unknown _1127840691.unknown _1127840712.unknown _1127840688.unknown _1099507828.unknown _1099511635.unknown _1099589049.unknown _1127817367.unknown _1127825046.unknown _1127825461.unknown _1127825611.unknown _1127831564.unknown _1127825443.unknown _1127817510.unknown _1127824230.unknown _1099589612.unknown _1099589749.unknown _1099648537.unknown _1099592164.unknown _1099589665.unknown _1099589505.unknown _1099589587.unknown _1099512097.unknown _1099581622.unknown _1099583275.unknown _1099583488.unknown _1099583527.unknown _1099583595.unknown _1099583479.unknown _1099581826.unknown _1099582920.unknown _1099581770.unknown _1099581085.unknown _1099581492.unknown _1099512145.unknown _1099511952.unknown _1099511987.unknown _1099511777.unknown _1099510410.unknown _1099511148.unknown _1099511258.unknown _1099511422.unknown _1099511204.unknown _1099510537.unknown _1099510766.unknown _1099510431.unknown _1099508293.unknown _1099508364.unknown _1099510356.unknown _1099508337.unknown _1099507928.unknown _1099508070.unknown _1099507830.unknown _1099503713.unknown _1099505727.unknown _1099506977.unknown _1099507620.unknown _1099507742.unknown _1099507028.unknown _1099507578.unknown _1099505968.unknown _1099506833.unknown _1099505871.unknown _1099504590.unknown _1099505152.unknown _1099505408.unknown _1099504847.unknown _1099503804.unknown _1099504423.unknown _1099503731.unknown _1099501951.unknown _1099502622.unknown _1099503151.unknown _1099503502.unknown _1099503598.unknown _1099503425.unknown _1099503037.unknown _1099502283.unknown _1099502575.unknown _1099502061.unknown _1099500608.unknown _1099501248.unknown _1099501906.unknown _1099501921.unknown _1099501729.unknown _1099501529.unknown _1099501145.unknown _1099501224.unknown _1099500968.unknown _1099331836.unknown _1099337950.unknown _1099389314.unknown _1099405371.unknown _1099422401.unknown _1099405157.unknown _1099388036.unknown _1099388361.unknown _1099388332.unknown _1099338122.unknown _1099336649.unknown _1099336837.unknown _1099336535.unknown _1099333735.unknown _1099331745.unknown _1099331781.unknown _1099331254.unknown