难点16 三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 ＜β＜α＜ ,cos(α－β)= ,sin(α+β)=－ ,求sin2α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin220°+cos280°+ cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin220°+cos280°+ sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－ cos40°+ cos160°+ sin20°cos(60°+20°) =1－ cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－ cos40°－ cos40°－ sin40°+ sin40°－ sin220° =1－ cos40°－ (1－cos40°)= 解法二：设x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－ cos20°sin80°，则 x+y=1+1－ sin60°= ，x－y=－cos40°+cos160°+ sin100° =－2sin100°sin60°+ sin100°=0 ∴x=y= ，即x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80°= . ［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)= 的a值，并对此时的a值求y的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y=2(cosx－ )2－ 及cosx∈［－1，1］得： f(a) ∵f(a)= ,∴1－4a= EMBED Equation.3 a= EMBED Equation.3 ［2,+∞ 故－ －2a－1= ，解得：a=－1，此时， y=2(cosx+ )2+ ，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5. ［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin2x+sinxcosx (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［ ， ］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos +cosxsin )－ sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+ cos2x=2sin(2x+ ) ∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+ =2kπ－ ，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. (3)令2sin(2x+ )=1，又x∈［ ］, ∴2x+ ∈［ , ］,∴2x+ = ，则 x= ，故f-－1(1)= . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值. 2.技巧与方法： 1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法. 4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－ )，则tan 的值是( ) A. B.－2 C. D. 或－2 二、填空题 2.(★★★★)已知sinα= ，α∈( ，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈( )，β∈(0， )，cos(α－ )= ，sin( +β)= ，则sin(α+β)=_________. 三、解答题 4.不查表求值: 5.已知cos( +x)= ，( ＜x＜ )，求 的值. 6.(★★★★★)已知α－β= π，且α≠kπ(k∈Z).求 的最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积. 8.(★★★★★)已知cosα+sinβ= ，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y= 的最小值，并求取得最小值时x 的值. 参考答案 难点磁场 解法一：∵ ＜β＜α＜ ,∴0＜α－β＜ .π＜α+β＜ , ∴sin(α－β)= ∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 解法二：∵sin(α－β)= ,cos(α+β)=－ , ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－ sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－ ∴sin2α= 歼灭难点训练 一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0. tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－ , )∴α、β∈(－ ,θ),则 ∈(－ ,0),又tan(α+β)= , 整理得2tan2 =0.解得tan =－2. 答案：B 2.解析：∵sinα= ,α∈( ,π),∴cosα=－ 则tanα=－ ,又tan(π－β)= 可得tanβ=－ , 答案： 3.解析：α∈( ),α－ ∈(0, ),又cos(α－ )= . 答案： 三、4.答案：2 （k∈Z）, （k∈Z） ∴当 即 （k∈Z）时, 的最小值为－1. 7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则 ｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y= x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q( sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－ sinθ. 于是SPQRS=sinθ(cosθ－ sinθ)= ( sinθcosθ－sin2θ)= ( sin2θ－ )= ( sin2θ+ cos2θ－ )= sin(2θ+ )－ . ∵0＜θ＜ ,∴ ＜2θ+ ＜ π.∴ ＜sin(2θ+ )≤1. ∴sin(2θ+ )=1时，PQRS面积最大，且最大面积是 ，此时，θ= ，点P为 的中点，P( ). 8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+( )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t= ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ .x= . � EMBED MSPhotoEd.3 ��� _1108209818.unknown _1108377061.unknown _1108377429.unknown _1108378389.unknown _1108378705.unknown _1108378835.unknown _1108378872.unknown _1108379016.unknown _1109233154.unknown _1109233177.unknown _1109233268.unknown _1108379040.unknown _1108379057.unknown _1108378988.unknown _1108379002.unknown _1108378951.unknown _1108378854.unknown _1108378861.unknown _1108378849.unknown _1108378786.unknown _1108378807.unknown _1108378817.unknown _1108378822.unknown _1108378812.unknown _1108378802.unknown _1108378771.unknown _1108378780.unknown _1108378719.unknown _1108378565.unknown _1108378674.unknown _1108378683.unknown _1108378691.unknown _1108378644.unknown _1108378661.unknown _1108378670.unknown _1108378576.unknown _1108378477.unknown _1108378499.unknown _1108378436.unknown _1108377758.unknown _1108378175.unknown _1108378363.unknown _1108377786.unknown _1108377448.unknown _1108377453.unknown _1108377440.unknown _1108377257.unknown _1108377288.unknown _1108377407.unknown _1108377414.unknown _1108377326.unknown _1108377274.unknown _1108377281.unknown _1108377261.unknown _1108377106.unknown _1108377222.unknown _1108377241.unknown _1108377191.unknown _1108377077.unknown _1108377095.unknown _1108377073.unknown _1108210032.unknown _1108376860.unknown _1108376980.unknown _1108376997.unknown _1108377005.unknown _1108376985.unknown _1108376926.unknown _1108376964.unknown _1108376869.unknown _1108210198.unknown _1108376838.unknown _1108376852.unknown _1108210199.unknown _1108210057.unknown _1108210066.unknown _1108210135.bin _1108210037.unknown _1108209915.unknown _1108209966.unknown _1108210008.unknown _1108210016.unknown _1108209998.unknown _1108209937.unknown _1108209956.unknown _1108209922.unknown _1108209858.unknown _1108209902.unknown _1108209910.unknown _1108209866.unknown _1108209841.unknown _1108209846.unknown _1108209831.unknown _1108209118.unknown _1108209715.unknown _1108209748.unknown _1108209770.unknown _1108209785.unknown _1108209762.unknown _1108209730.unknown _1108209740.unknown _1108209726.unknown _1108209553.unknown _1108209679.unknown _1108209693.unknown _1108209671.unknown _1108209255.unknown _1108209538.unknown _1108209272.unknown _1108209279.unknown _1108209233.unknown _1108209245.unknown _1108209119.unknown _1108208905.unknown _1108209046.unknown _1108209075.unknown _1108209093.unknown _1108209100.unknown _1108209105.unknown _1108209084.unknown _1108209061.unknown _1108209068.unknown _1108209052.unknown _1108208937.unknown _1108208960.unknown _1108208973.unknown _1108208945.unknown _1108208916.unknown _1108208924.unknown _1108208911.unknown _1108208854.unknown _1108208882.unknown _1108208894.unknown _1108208899.unknown _1108208889.unknown _1108208870.unknown _1108208874.unknown _1108208862.unknown _1108208781.unknown _1108208843.unknown _1108208849.unknown _1108208832.unknown _1108208739.unknown _1108208770.unknown _1108208763.unknown _1108208746.unknown _1108208754.unknown _1108208721.unknown _1108208728.unknown _1108208706.unknown