生活中的概率问题举例

第25卷 第4期 2007年 10月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal ofShenyang Normal University(Natural Science) Vo1．25．No．4 Oct．2007 文章编号：1673—5862(2007)04—0531—03 生活中的概率问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 举例 郑 长 波 (大连水产学院 高等职业技术学院，辽宁 大连 116300) 摘 要：围绕古典概型，全概率公式，正态分布，数学期望，极限定理等有关知识，探讨概率统 计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识 解决实际问题，建立数学模型，奠定了一定的理论基础． 关 键 词：概率统计；古典概型；正态分布；数学期望 中图分类号：0 211 文献标识码：A 概率论通过人类的社会实践和生产活动发展起来并被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和 生活中起着重要的作用．正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯(Jevons，l835一l882)所说：概率论是“生 活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为．” 在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，下面从几个方面具体阐述． 1 全概率公式的应用 全概率公式是概率论中一个重要的公式⋯1，在实际中有广泛的应用． 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，决赛方式是中国对古巴，日本对美 国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为 0．9与 0．4，而日本队战胜美国队的概率为0．5，试问中国队取得冠军的可能性有多大? 根据上述形势，未完成的日美半决赛对中国冠军的影响很大，若 日本队胜利，则中国队可有 90％的 希望夺冠，若美国队胜利，则中国队夺冠的希望只有 40％．在 日本队和美国队未比赛前，他们谁能取得 决赛权，两种情况都必须考虑到． 记“中国队得冠军”为事件 B，日本队胜美国队为事件 A1，有 P(A1)=0．5=50％．美国队胜 日本队 为事件A2，P(A2)=50％，显然有，要么日本队胜，要么美国队胜，二者必居其一，所以A1，A2为一个划 分，由全概率公式，这里( =2) P(B)=P(A1)P(B IA1)+P(A2)P(B IA2) 其中，P(B IA1)，P(B IA2)是2个条件概率．P(B IA1)表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠 军的概率，由题意可知，P(B IA1)=90％；P(B IA2)表示在美国队胜 日本队的条件下，中国队取得冠军 的概率，由题意可知，P(B IA，)=40％． 综上所述，在日、美未决赛前，估计中国队取得冠军的概率为 P(B)=P(A1)P(B IA1)+P(A2)P(B IA2)= 50％ ×90％ +50％ ×40％ =50％(90％+40％)=65％ ． 利用全概率公式求解的实例有许多，关键是对问题的合理划分，考虑所有可能导致问题发生的情况． 2 正态分布的应用 正态分布也称“高斯分布”，是概率论中最重要的一个分布，中心极限定理保证了许多其他分布的极 收稿日期：2007—04—16 基金项目：国家自然科学基金资助项 目(10471096)． 作者简介：郑长波(1954一)，男，辽宁大连人，大连水产学院教授． 维普资讯 http://www.cqvip.com 532 沈阳师范大学学报(自然科学版) 第25卷 限分布为正态分布．许多实际问题，我们都可以将其转化为正态分布加以解决． 例 1：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车，有两条路可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但 交通拥挤，所需时间(单位：min)J]~从正态分布 N(50，100)，第二条路线沿环城公路走，路线较长，但意 外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N(60，16)． 1)假如有 70 min可用，问应走哪条路线? ， 2)若只有 65 min可用，又应走哪条路线? 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：从概率角度先考虑1)的情况，有70 min可用时，根据正态分布的性质，分别求两种情况下的 概率，由于所有的正态分布都可以通过 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化化成标准正态分布，利用标准正态的性质或查找正态分布 表，可以比较两条路线按时到达的概率大小，哪个概率大就走哪条路线．情况2)与情况 1)同．具体解法 如下： 1)有70 min可用，走路线一到达的概率： ≤70)= ( )= )=0．9772 走路线二到达的概率： ( ≤70)： fz 1： (2．5)：0．993 8 所以应走路线二． 2)有65 min可用，走路线一到达的概率： ≤65)= ( )= ．5)=0．9332 走路线二到达的概率： ( ≤65)： f鱼 )： (1．25)：0．894 4 、所以应该走路线一． 例2：某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工人280人，J~uCq-人20人；报考的人 数是1 657人，考试满分是400分，考试后得知，报名者的成绩 X近似服从正态分布N(166， )，360分 以上的高分考生 31人，某考生 B得 256分，问：他能否被录取?能否被聘用为正式工人? 分析：问题求解大致分为3个步骤：首先根据问题中所给信息：高于360分的有31人，利用正态分 布，求出 ；然后根据招收300名职工这个信息及分数服从正态分布，求出最低分数线，将 B的成绩与 最低分数线比较，从而确定是否被录取；最后，若确定 B被录取，将第280人的分数与 B的成绩比较，或 者根据B的成绩求出高于B成绩的人数，再与280比较，进而确定B是否被录取为正式员工·具体求解 如下： 第一步：预测最低分数线，设最低分数为 ，考生成绩为 X，则对一次成功的考试来说，X～N (166，93 )，因为高于 360分的考生的频率是 ，故 P I x>360}=P{等 > }= 一 ( )≈ 因此 ( )≈1一 ≈0．981，查表可知 ≈2．08 ，解得 ≈93，故x～N( 166 93 )． 因为最低分数线的确定应使录取考生的频率等于 ，即 P{x>Xl}=P{ > }= 一 ( )≈ 所以 ( )=1一丽300≈0．819，查表得 ≈0．91，解得X1~251，也就是说，最低分数线 是 251分． 第二步：预测 B的考试名次．在 =256分时，由查表可知： { >256}：1一 ( 1一 (0．967 7)≈1_0．8315=0．i685 维普资讯 http://www.cqvip.com 第4期 郑长波：生活中的概率问题举例 533 这表明，考试成绩高于256分的频率是0．1685，所以名次排在考生B之前的考生人数约有 1 657× 16．85％~280即考生 B大约排在 281名[ ，即B只能作为一名临时工被录用． 3 数学期望的应用 许多数学模型可以从概率角度利用期望求解，为问题的解决提供新的思路． 通过血检对某地区的N个人进行某种疾病普查，有两套 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：方案一是逐一检查，方案二是分组检 查．那么哪一种方案好?如果用方案二应怎样分组可以减少工作量?显然方案一需要检查 N次．下面 我们讨论方案二：假设检验结果阴性为“正常”、阳性为“患者”，把受检查者分为k个人一组，把这 k个 人的血混和在一起进行检查，如果检验结果为阴性，这说明 k个人的血液全为阴性，因而这 k个人总共 只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，要确定 k个人的血液哪些是阳性就需要逐一再检验，因而 方案二在实施时有两种可能性，两种方案作比较，需要求出它的平均值(即平均检验次数)． 具体做法如下：假设这一地区患病率(即检验结果为阳性的概率)为P，那么检验结果为阴性的概 率为 q=1一P，这时k个人一组的混合血液是阴性的概率为q ，是阳性的概率为1一q ，则每一组所需 检验次数是一个服从二点分布的随机变量，求得每组所需的平均检验次数为：E =l× +(1+k)×(1 一 q )=1+k—kq ，由以上计算可以得出：当1+k—kq 1，q >1／k时，k个人的检查次数 小于k，方案二就比方案一好，总的检验次数为(1+k—kq )×N ．某医疗机构在一次普查中，由于采 用了上述分组 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，结果每 100个人的平均检验次数为21，减少工作量达 70％以上 3． 上面只是列举了概率在实际问题中的几个简单应用，作为一门独立的学科，概率的足迹可以说已经 深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见．概率的许多其他方面也正在或将要发挥它应有的作 用 J．诸如方差分析、回归分析等内容在医学，军事等领域都正在发挥它的巨大作用15J．相信人类能够 更好的“挖掘概率的潜能”，使之最大限度地为人类服务． 参考文献： [1] 魏宗舒．概率论与数理统计EM]．北京：高等教育出版社，2004． [2] 陈文灯，黄开先．概率论与数理统计复习指导——思路、方法与技巧[M]．北京：清华大学出版社，2003． [3] 菜海涛．概率论与数理统计典型例题与解法[M]．长沙：国防科技大学出版社，2003． [4] 杜镇中．全概率公式及其应用[J 2．遵义师范学院学报，2005，7(5)：76—77． [5] 王 强，王汝芬，张雪莉．方差分析中Dunnett—t检验与分组比较法的异同[J]．数理医药学杂志，2007，20(2)：128— 130． Examples of Application of Probability in Real Life ZHENG Chang-bo (Higher Professional College，Dalian Aquatic Product College，Dalian 1 16300，China) Abstract：This paper discusses classical model，formula of total probability，norm al distribution，mathematic expectation and the central limit theorem．It also discusses the widely use of probability and statistics and the close relationship with the real life． Therefore，it lays theoretical foundation for the practical uses of probability and statistics and a basis of mathematic mode1． Key words：probability and statistics；classical model；norm al distribution；mathematic expectation 维普资讯 http://www.cqvip.com