选修系列——综合测试时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·银川一中第一次月考)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题A．①③ B．②C．②③D．①②③[答案] A[解析] 逆命题把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(2)(3)[答案] D[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．(2014·广州一测)已知i是虚数单位，则eq\f(1－2i,2＋i)等于( )A．iB．eq\f(4,5)－iC.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．－i[答案] D[解析] eq\f(1－2i,2＋i)＝eq\f(1－2i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2－4i－i＋2i2,22－i2)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故答案选D.4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4、b5、b7、b8的一个不等关系是( )A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8
b5＋b8D．b4＋b7a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7，选A.5．(2014·唐山二模)若命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2,6]B．[－6,2]C．(2,6)D．(－6，－2)[答案] A[解析] 因命题“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”为假命题，故其否命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立”为真命题，因为二次函数图像开口向上，所以Δ＝m2－4(2m－3)≤0，∴m∈[2,6]．6．(2014·杭州质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下
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)，由最小二乘法求得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189A.75B．62C．68D．81[答案] C[解析] 设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得：eq\o(x,\s\up6(－))＝30，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m＋307,5)，因为由最小二乘法求得回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，将eq\o(x,\s\up6(－))＝30，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m＋307,5)代入回归直线方程，得m＝68，故选C.7．(2013·辽宁大连24中高二期末)f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为( )A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－2,0)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案] A[解析] 令h(x)＝f(x)·g(x)，h(－x)＝f(－x)·g(－x)，∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴h(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)为奇函数，又∵h(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，∴h(2)＝0.又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0在x<0时恒成立，∴函数h(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵h(x)为奇函数，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴不等式f(x)·g(x)<0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．8.(2014·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )A．3B．6C．7D．10[答案] D[解析] 由框图可知该循环结构框图的作用是求数列的和，到n＝4时结束循环，所以S＝0＋1＋2＋3＋4＝10.故选D.9．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( )A．12，－15B．5，－15C．5，－4D．－4，－15[答案] B[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)·(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)5极小值－15－4由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.10．(2013·广东深圳高二期中)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析] 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得，偶函数的导函数为奇函数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的导函数g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．(2014·浙江五校联考)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)是f(x)的导函数，若f′(α)＝2f(α)，则tan2α＝__________________.[答案] －eq\f(3,4)[解析] ∵f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(α)＝2f(α)得cosα＋sinα＝2sinα－2cosα，故tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×3,1－9)＝－eq\f(3,4).12．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为________．[答案] eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1[解析] 由类比推理可知，方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.13．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.[答案] 512[解析] 由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，∵1＋2＋…＋7＝28，∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57，∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝512.14．(2013·武汉市部分重点中学高二期中)若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处取得极值，则a＝________，b＝________.[答案] －eq\f(2,3) －eq\f(1,6)[解析] y′＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0,\f(a,2)＋4b＋1＝0))，解得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6).15．(2014·绍兴月考)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为________．[答案] eq\f(2\r(3),3)[解析] 根据题意，作图如下，抛物线y2＝2bx的焦点F(eq\f(b,2)，0)，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点F1(－c，0)，F2(c,0)，则|F1F|＝eq\f(b,2)＋c，|F2F|＝c－eq\f(b,2)，故eq\f(|F1F|,|F2F|)＝eq\f(\f(b,2)＋c,c－\f(b,2))＝eq\f(5,3)，解得：c＝2b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(c2－b2))＝eq\f(c,\f(\r(3),2)c)＝eq\f(2\r(3),3).三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)(2013·山东临沂市重点中学高二期末)已知命题p：方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m－1)＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p或q为真，¬q为真，求实数m的取值范围．[答案] m≥3[解析] p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<0,m－1>0))，∴m>2.故p：m>2.q：△＝16(m－2)2－16<0，即m2－4m＋3<0，∴12,m≤1或m≥3))，∴m≥3.17．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．[解析] 证明：设P(x1，axeq\o\al(2,1))，Q(x2，axeq\o\al(2,2))，则直线PQ的斜率为kPQ＝a(x1＋x2)，∴其方程为y－axeq\o\al(2,1)＝a(x1＋x2)(x－x1)，即y－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1⇒a2x1·x2＝－1.∴y－eq\f(1,a)＝a(x1＋x2)(x－0)．∴PQ恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))).18．(本题满分12分)用分析法证明：若a>0，则eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.[解析] 要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).∵a>0，∴两边均大于0.∴只需证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))2.只需证a2＋eq\f(1,a2)＋4＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))≥a2＋eq\f(1,a2)＋4＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需证a2＋eq\f(1,a2)≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)＋2))，只需证a2＋eq\f(1,a2)≥2，而这显然是成立的．∴原不等式成立．19．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．[答案] (1)41 (2)f(n)＝2n2－2n＋1 (3)eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)[解析] (1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)＝1＋eq\f(1,2)·(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))＝1＋eq\f(1,2)(1－eq\f(1,n))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n).20．(本题满分13分)(2013·河南安阳市第二中学期末)已知椭圆C短轴的一个端点为(0,1)，离心率为eq\f(2\r(2),3).(1)求椭圆C的
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方程；(2)设直线y＝x＋2交椭圆于A、B两点，求线段AB的长．[答案] (1)eq\f(x2,9)＋y2＝1 (2)eq\f(6\r(3),5)[解析] (1)由题意可设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(2),3)，∴a2＝9，b2＝1.∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2,\f(x2,9)＋y2＝1))，得10x2＋36x＋27＝0.∴x1＋x2＝－eq\f(18,5)，x1x2＝eq\f(27,10)，∴|AB|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)eq\r(\f(324,25)－\f(108,10))＝eq\f(6\r(3),5).∴线段AB的长为eq\f(6\r(3),5).21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a的取值范围．[答案] 增区间[－∞，－eq\f(1,3))和(1，＋∞)，减区间(－eq\f(1,3)，1)(2)[－1,0][解析] (1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)>0，解得x>1或x<－eq\f(1,3)；令f′(x)<0，解得－eq\f(1,3)
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