2010届高三上学期一轮复习数学教学案与抢分训练---数学归纳法

天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜 第3讲 数学归纳法 ★知识梳理★ 1.运用数学归纳法证明命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可 2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 ★重难点突破★ 重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推 重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法 1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 问题1用数学归纳法证明： 错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立 （2）假设当n=k时等式成立， 那么当n=k+1时， 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设 2.归纳起点未必是1 问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为 点拔：本题的归纳起点 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式 问题3：在数列中，，求数列的通项公式 点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一 解析：猜想 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立 （2）假设当n=k时猜想成立，则 当n=k+1时猜想也成立 综合（1）（2），对猜想都成立 ★热点考点题型探析★ 考点1 数学归纳法 题型：对数学归纳法的两个步骤的认识 [例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 [解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 【新题导练】 1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B. C. D. [解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B 2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 [解析]求即可 当 n=k时，左边， n=k+1时，左边, 故左边增加的式子是，即 考点2 数学归纳法的应用 题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等） [例2 ]用数学归纳法证明不等式 [解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即 则 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形； （3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 【新题导练】 3. 用数学归纳法证明等式： [解析] （1）当n=1时，左==右，等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即 则 当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 4.数列中，，用数学归纳法证明： [解析](1) 当n=1时, ,不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即， 则， 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立 题型2 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题 [例3 ]是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论 【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 [解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得， 猜想：等式对一切都成立 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设n=k时等式成立，即则 所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对等式都成立 【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 【新题导练】 5. 在数列中，， （1）写出；（2）求数列的通项公式 [解析] ，，猜想 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立 （2）假设n=k时猜想成立，即 则 所以当n=k+1时，猜想也成立 综合（1）（2），对猜想都成立 ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B. C. D. [解析] 左端需乘的代数式是=，选B 2.用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A. B. C. D. [解析] 项数为,选A 3. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（ ） A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 [解析] C 4. 如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（ ） A. 对成立 B. 对n>4且成立 C. 对n<4且成立 D. 对n4且不成立 [解析] D 5.设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是 [解析] 6.若存在正整数，使得能被整除，则= [解析]36. [，猜想：=36] 综合提高训练 7. 求证： [证明](1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立； (2)假设n=k时，等式成立，即，则.所以，当n=k+1时，等式仍然成立 由(1)(2)可知，对于等式依然成立. 8. 证明：能被整除 [解析] （1）当n=1时，，能被整除； （2）假设n=k时命题成立，即能被整除 则可设（其中为次多项式） 当当n=k+1时， 能被整除 所以，当n=k+1时，命题仍然成立 由(1)(2)可知，对于命题依然成立. 9. 在数列中，，其中，求数列的通项公式 [解析] ，，.由此可猜想出数列的通项公式为. 以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立. (2)假设当n=k时等式成立，即.则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时等式也成立。由(1)(2)可知数列的通项公式 10. 数列满足且 . 用数学归纳法证明： ； [证明](1)①当n=2时，，不等式成立. ②假设当n=k时不等式成立，即 （， 那么. 这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：对所有成立. _1144138934.psd