第五章大数定理与中心极限定理

第五章 大数定理与中心极限定理 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com 定理 § 5.1 切比雪夫不等式 5.1.1:P(143) 若随机变量 X的期望 E(X) 和方差 D(X) 存在，则对任意 P{|X − ε>0 ，有 E( X ) |≥ ε }≤ D ( X ); 等价形式为 P{|X − E( X ) |< ε ≥ } 1 ε 2 − D ( X ). ε 2 例：一机床制造长度为 长度总有一定误差。统计表明，长度的均方差为 50cm 的工件，由于随机扰动，工件 2.5mm 。 若工件实际长度在 床制造工件的合格率。 49.25~50.75cm 之间算合格，请估计该机 解：设 X 表示工件长度，则由题意有 EX=50 ， D(X)=0.25*0.25 由切比雪夫不等式，有合格率为 {| − ( ) | 0.75} 1 ≥ − 0.252 0.752 = 8 9 . 定义 量序列， § 5.2 大数定律 5.2.1P(144) : 设 X1, X2, …, X a 是一个常数；若对任意 lim (|P X − < = n是随机变 ε >0, 有 : n→∞ 则 X1, X2, …, X n n依概率收敛于 a | ) 1, a，记为 Xn  P → a. 定理 序列 常数 5.2.1( 切比雪夫大数定律）设互相独立的随机变量 X1, X2, …, X n,… 数学期望与方差都存在 c ，使每个 D(Xi) ≤ c(i=1,2,…) ，则必有 ，且存在 p lim (| n →∞ 1 n n ∑ i =1 X i − 1 n n ∑ i =1 E X ( ) | i < ε ) 1 推论：（独立同分布大数定律） 设随机变量 X1, X2, …, X n相互独立，且服从相同 分布，记 E(Xi)= μ ， D (Xi)= σ 2(i=1,2,…), 1n 记 X = ∑ nk= 1 X k 则有 X  P → µ . 即对任意的 P X lim {| n −>∞ ε >0 ，有 − < µ ε | : } lim {|P n −>∞ 1n 1 n n ∑ k = 1 X k − < µ ε | } 1 或 lim n − > ∞ P {| n ∑ k = 1 X k − µ |≥ ε }= 0 证明： E 1 ( 1 n n n ∑ k = 1 X k ) = 1 1 n n n ∑ k = 1 EX k 1 = 1 n n ∑ k = 1 µ = 1 µ D ( n ∑ k = 1 X k ) = n 2 ∑ k = 1 DX 1 k = n n 2 n σ 2 = n σ 2 σ 2 由切比晓夫不等式得： 1 n P {| n ∑ k =1 X k − µ |< ε ≥ } 1 − n ε 2 当 n → ∞ 时， P {| n ∑ k =1 Xk − µ |< ε = } 1 。 定理 中事件 5.2.2 （贝努里大数定律）设是 A 发生的次数 nA，记 n 次独立重复试验 fn(A)= nA/n ， p 是事件 A 发生 的概率，则有 即对任意的 或 lim n − > ∞ ( ) f An ε >0 ，有 nA P {| n −  P → lim n − > ∞ p | < p. nA P {| n ε } = 1 − p | ≥ ε = } 0  0，在第 k 次试验中 A 不发生 证： 令 Xk n =   1，在第 k 次试验中 A 发生 ， k = 1, 2 , , n 则 n A = ∑ k =1 X k ，且 X1, , Xn相互独立同服从于 ( 0 − 1)分布 故 EX k = p ， DX 1 k n = p (1 − p )， k = 1 , 2 , , n , 由推论有 lim n − > ∞ n P{| n ∑ i =1 X i − p |< ε = } 1, 即 lim n − > ∞ P{| A n − p | < ε = } 1 。 此定理 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 了频率的稳定性。 定理 设随机变量 5.2.3 （辛钦大数定律） X1, X2, …, X n相互独立，且服从相同 1 n 分布， 则有 即对任意的 E(Xi)= μ (i=1,2,…) X  P → µ . ε >0 ，有 : 存在 , 记 1 n X = ∑ nk= 1 X k P X lim {| n −>∞ − < µ ε | } lim {|P n −>∞ 1 n ∑ k = 1 n X k − < µ ε | } 1 或 lim {| n −>∞ n ∑ k =1 X k − ≥ µ ε | } 0 注： 贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 定理 § 5.3 中心极限定理 5.3.1( 独立同分布的中心极限定理） 设 X1, X2, …, X n,， … ，是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k = µ ， DX k n = σ 2 ≠ 0, ( k = 1, 2, ) 则对随机变量 Y n = ∑ k =1 Xk − n µ 及任意的 等价地 x ∈ R ，有 lim { n → ∞ P Y n ≤ n σ x } = 1 2 π x ∫ e −∞ − t2 2 n dt = Φ ( ) lim Y n →∞ n ∼ N (0,1) 或者是 lim n → ∞ ∑ k = 1 X k ∼ ( µ σ, n 2 ) 定理 5.3.2: ( 德莫佛 - 拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 设随机变量 二项分布，则对任意的 Xn(n=1 ， 2 ， …) 服从参数为 x ∈ R ，有 x 2 n,p(0 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率 例：用一机床制造大小相同的零件， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 重为 由于随机误差，每个零件的重量在 上均匀分布。设每个零件重量相互独立， 1kg, (0.95 ， 1.05)(kg) (1) 制造 是多少？ 1200 个零件，问总重量大于 1202kg 的概率 (2) 最多可以制造多少个零件，可使零件重量误差 的绝对值小于 2kg 的概率不小于 0.9? 例：在某地区的一家保险公司里有二万人参加了人寿保 险，每人每年付 8 元保险费。若投保公司向其家属赔付 2000 元。设该地区的人口死亡率为万分之五，求 (1) 该保险公司亏本的概率。 (2) 该保险公司一年的利润不少于 12 万元的概率。 1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意 义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解 契比雪夫大数定律。 2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际 应用问题。 第四章小结 - 拉普 例：某车间有 开工率为 典型题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 200 台车床，它们独立地工作着， 0.6, 开工时耗电各为 1 千瓦，问供电所至 少要供给这个车间多少电力才能以 保证这个车间不会因供电不足而影响生产。 99.9% 的概率 解： 记某时在工作着的车床 数为 X ，则 X ~ B(200,0.6) . 设至少要供给这个车间 保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题 意有： r r 千瓦电才能以 99.9% 的概率 P{X ≤ r = } ∑ k =0 Ck 200 ( 0 .6)k( 0 .4) 200 − k ≈ Φ ( r − 200 × 0.6 ) − Φ ( − 200 × 0.6 ) 200 × 0 .6 × 0.4 200 × 0.6 × 0.4 = Φ 查表得 ( r − 120 48 ) − Φ ( − 17 . 32 ) ≈ Φ ( r − 120 48 ) ≥ 0 . 999 , r - 120 48 ≥ 3 . 1 所以 r ≥ 141. 即供给 141 千瓦电就能以 99.9% 的概率保证这个车间 不会因供电不足而影响生产。 例 : 　现有一批种子，其中良种占 问能以 0.99 的概率保证在这 1/6 。今任取 6000 粒种子中良种所 6000 粒， 占的比例与 在哪个范围内？ 解： 设良种数为 设不超过的界限为 1/6 的差不超过多少？相应的良种粒数 X ，则 X ~ B ( n , p α ，则应有： ), 其中 n = 6000 , p = 1 / 6 . P   X 6000 - 1 6 ≤ α   = 0 . 99 由德莫佛 - 拉普拉斯定理  X 1  n = 6000 , p = 1 / 6 . P  - ≤ α  P ηn− np ≤ x = Φ x 6000 6 lim { n → ∞ npq } ( ) = P   X − 6000 × 1 / 6 ≤ 6000 α    6000 × 1 / 6 × 5 / 6 6000 α  6000 × 1 / 6 × 5 / 6 ≈ 2 Φ  6000 × 1 / 6 × 5 / 6 − 1 故近似地有 2 Φ    6000 α 6000 × 1 / 6 × 5 / 6   −  1 = 0 . 99 , 即 Φ    6000 α 6000 × 1 / 6 × 5 / 6   =  0 . 995 , 查表得 解得 6000 α 6000 × 1 / 6 × 5 / 6 α = 0 . 0124 . = 2 . 58 , X 1 良种粒数 X 的范围为 6000 - 6 ≤ α (1 / 6 − 0 . 0124 ) × 6000 ≤ X ≤ (1 / 6 + 0 . 0124 ) × 6000 , 即 925 ≤ X ≤ 1075 .