1 极限问题的快速分析与处理

2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150 分杀伤力 考研数学三十六技 150 分杀伤力 微积分上（三十六技之一） 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 1．极限问题的快速分析与处理 分式极限是重点：无穷小量的比较准则，导数定义与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 极限的套 用，运用罗必达法则之前先做予处理。 程序化分析法 摸着石头过河： 判断一步状态，确定一个 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，作出一步分析与计算。 例 1-1 求极限 )sincos2ln( 121lim 3 0 xx x x +− −+ → 。 [解] 注意到： 0121lim 3 0 =−+→ xx 以及 0)sincos2ln(lim0 =+−→ xxx ， . sincos1 2 3 1 lim )sincos2ln( 121lim 0 3 0 xx x xx x xx +−=+− −+ →→ 3 2 1 sin cos1 1lim 3 2 sincos1 sin 3 2 lim 00 = +− =+−= →→ x xxx x xx 。 其中 0 2 lim sin cos1lim 2 00 ==− →→ x x x x xx ， 3 2 )sincos2ln( 121lim 3 0 =+− −+ → xx x x 。 例 1-2 若极限 ααα )11( lim 200 x xx x x −−+∞→ 存在，求α 的取值范围与此极限的值． [解] （无穷大量的比较，泰勒公式） 因为极限 ααα )11( lim 200 x xx x x −−+∞→ )1( lim )]1(11[1 lim 201200 x x x o x x xx βαα αα + = +−− = − +∞→ − +∞→ 存在， 其中 )1( x β 为无穷小量，所以 201≥α 。 例 1-3 求极限 )1( 2sin 2 1cos1 lim 22 2 0 − −− → xx ex xxx 。 [解] （先考虑等价无穷小替换，进行予处理，然后再考虑罗必达法则） 考研培训网址 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032） 2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150 分杀伤力 。 3 1 3 sinlimcossinlim )cos(sinsinlim )1( 2sin 2 1cos1 lim 2030 402 2 0 2 ==−= −=− −− →→ →→ x xx x xxx x xxxx ex xxx xx xxx 例 1-4 （2005-1、3、4）求 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− + −→ xe x xt 1 1 1lim 0 。 [解]（方法 1） ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− + −→ xe x xt 1 1 1lim 0 2 2 0 2 0 1lim )1( 1lim x exx ex exx x xx x x − →− − → +−+=− +−+= 2 3 2 2lim 2 21lim 00 =+=−+= − → − → x x x x e x ex （方法 2） 2 2 0 2 00 1lim )1( 1lim1 1 1lim x exx ex exx xe x x xx x xxt − →− − →−→ +−+=− +−+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− + 2 30 2 3)(2 1 lim 2 222 0 =+= ++−+ = → x xoxxxx x （方法 3） 111lim1 1 1lim 00 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− + →−→ xx x xe x txt （方法 4） )1( 1lim1 1 1lim 2 00 x x xxt ex exx xe x − − →−→ − +−+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− + 1limlim 02 2 0 ==−+= →→ x x x xxx xx 例 1-5 已知极限 2 1 1 − − ∞→ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − e x ax x x lim ，则常数 = a 。 [解] 已知极限为“ ”型，应考虑应用标准极限 2。将已知极限表达式凑成标准型， ∞1 1 1 − ∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − x x x axlim )1( 1 1 1 11lim a a x x x a −⋅− − ∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −+= a a x x x a − − − ∞→ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −+= 1 1 1 1 11lim ，由 e x a a x x =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −+ ⋅− − ∞→ 1 1 1 11lim ， 应用复合极限定理得到 1 1 lim − ∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − x x x ax ae −= 1 2−= e ， 即有 。 321 =−=− aa , 例 1-6 设正整数 ，曲线 在点 处的切线与 轴交点为1>n 12−= nxy )1,1( x )0,( nλ ，则 考研培训网址 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032） 2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150 分杀伤力 2n nn λ +∞→ lim = 。 [解] , , 22 21 −−=′ nxny )( 11 2 −=′ ny )( 于是，曲线 在点 处的切线方程为 12−= nxy )1,1( )1(21 −=− XnY 令 nn XY λ=−+== 1 110 2得到, , 于是有 e n n n n nn =−+= ∞→∞→ 2 1 11 2 )(limlimλ 。 例 1-7 设 在 某邻域内可导，且)(xf 0=x 2)0(,1)0( =′= ff ，求极限 ( ) xx x xf cos)(lim −→ 1 2 0 。 [解] x x x x x x xfxf coscos ])([lim)]([lim −→ − → −+= 1 2 0 1 2 0 11 x xxf xf x xf cos ])([ )( ]))([(lim − − − → −+= 1 12 1 1 0 11 , 而 x xf x xxf x xxf xxx 1)(lim4]1)([2lim cos1 ]1)([2lim 02 2 100 −=−=− − →→→ 0 )0()(lim4 0 − −= → x fxf x 804 =′= )(f ， 于是 8cos1 2 0 )]([lim exf x x x =−→ . 注：若由 8 1 41412 002 2 10 =′=−=− →→→ )(lim)(lim])([lim xf x xf x xxf xxx 得出 81 0 exf x x x =−→ cos)]([lim ，应扣 2分。 考研培训网址 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学东门外创业大厦 1006（电话：62796032）