2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1

www.zgxzw.com 中国校长网 2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 (1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合 中的元素共有（A） （A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 解： ， 故选A。也可用摩根律： （2）已知 =2+i,则复数z=（B ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解： 故选B。 (3) 不等式 ＜1的解集为（ D ） （A）｛x (B) （C） (D) 解：验x=-1即可。 (4)设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A） （B）2 （C） （D） 解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得: . (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法 (2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有345种选法.选D （6）设 、 、 是单位向量，且 · ＝0，则 的最小值为 ( D ) （A） （B） （C） (D) 解: 是单位向量 故选D. （7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ D ） （A） （B） （C） (D) 解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D （8）如果 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（A） （B） （C） (D) 解: 函数 的图像关于点 中心对称 EMBED Equation.DSMT4 由此易得 .故选A (9) 已知直线y=x+1与曲线 相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 ，则 ,又 .故答案选B （10）已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ） (A) (B)2 (C) (D)4 解:如图分别作 ，连 ， 又 当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。 （11）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则( D ) (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 解: EMBED Equation.DSMT4 与 都是奇函数， ， 函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期函数. ， ，即 是奇函数。故选D 12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( A ) (a). (b). 2 (C). (D). 3 解:过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A 第II卷 二、填空题： 13. 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。 解: 14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = 。 解: 是等差数列,由 ,得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 16. 若 ，则函数 的最大值为 。 解:令 EMBED Equation.DSMT4 , 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） 在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) ,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 EMBED Equation.DSMT4 .解得 . 解法二: 由余弦定理得: . 又 , 。 所以 …………………………………① 又 ， ， 即 由正弦定理得 ， 故 ………………………② 由①，②解得 。 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。www.ks5u.com 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60° （I）证明：M在侧棱 的中点 （II）求二面角 的大小。 解法一： （I） 作 ∥ 交 于点E，则 ∥ ， 平面SAD 连接AE，则四边形ABME为直角梯形 作 ，垂足为F，则AFME为矩形 设 ，则 ， 由 解得 即 ，从而 所以 为侧棱 的中点 （Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形， 又由（Ⅰ）知M为SC中点 ，故 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角 连接 ，在 中， 所以 二面角 的大小为 解法二: 以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设 ，则 （Ⅰ）设 ,则 又 故 即 解得 ，即 所以M为侧棱SC的中点 （II） 由 ，得AM的中点 又 所以 因此 等于二面角 的平面角 所以二面角 的大小为 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 解：记 表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5 表示事件：第j局乙获胜，j=3,4 （Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 由于各局比赛结果相互独立，故 = =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648 （II） 的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以 = = =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52 =1.0.52=0.48 的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 =2×0.52+3×0.48 =2.48 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 在数列 中， （I）设 ，求数列 的通项公式 （II）求数列 的前 项和 解：（I）由已知得 ，且 即 从而 …… 于是 = 又 故所求的通项公式 （II）由（I）知 , EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 而 ,又 是一个典型的错位相减法模型， 易得 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。 （I）求 得取值范围； （II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标 分析：（I）这一问学生易下手。 将抛物线 与圆 的方程联立，消去 ，整理得 ．．．．．．．．．．．．．（＊） 抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可. 由此得 解得 又 所以 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以． （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。 设 与 的四个交点的坐标分别为： 、 、 、 。 则直线 的方程分别为 解得点P的坐标为 设 ，由 及（I）知 由于四边形 为等腰梯形，因而其面积 则 将 代入上式，并令 ，得 求导数 令 ，解得 （舍去） 当 时， ； 时， ； 时， 故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 的面积最大，故所求的点P的坐标为 22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） 设函数 在两个极值点 ，且 （I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域； (II)证明： 解 （I） 依题意知，方程 有两个根 ， EMBED Equation.DSMT4 等价于 EMBED Equation.DSMT4 由此得b、c满足的约束条件为 满足这些条件的点 的区域为图中阴影部分， (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知 ，故 于是 由于 ，而由（Ⅰ）知 ，故 又由（Ⅰ）知 所以 www.ks5u.com 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com _1305906077.unknown _1306766363.unknown _1306769346.unknown _1306770792.unknown _1306821597.unknown _1306822503.unknown _1306823138.unknown _1306823862.unknown _1306825855.unknown _1306826108.unknown _1306826322.unknown _1306826323.unknown _1306826217.unknown _1306826055.unknown _1306823917.unknown _1306823941.unknown _1306823903.unknown _1306823612.unknown _1306823731.unknown _1306823834.unknown _1306823781.unknown _1306823798.unknown _1306823247.unknown _1306823329.unknown _1306823597.unknown _1306823216.unknown _1306822808.unknown _1306822868.unknown _1306823112.unknown _1306822841.unknown _1306822719.unknown _1306822769.unknown _1306822528.unknown _1306822291.unknown _1306822389.unknown _1306822398.unknown _1306822320.unknown _1306821681.unknown _1306822143.unknown _1306821642.unknown _1306820992.unknown _1306821330.unknown _1306821481.unknown _1306821546.unknown _1306821372.unknown 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