4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程为，此方程称为圆的标准方程．圆心在原点，半径为r的圆的方程为.2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r.当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．3．若点P(m，n)在圆x2＋y2＝r2的内部，则m、n、r的关系式是.若点P(m，n)在圆x2＋y2＝r2的外部，则m、n、r的关系式是.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2d＝rm2＋n2r2d>rd0)∵圆与x轴相切于点(5,0)，∴r＝|b|， ①a＝5， ②∵圆在y轴上截得的弦长为10，[点评] 圆与x轴相切时，圆的半径r与圆心的纵坐标的关系是r＝|b|.圆与y轴相切时圆的半径r与圆心的横坐标的关系是r＝|a|.解法1根据题意直接设圆的方程为(x－5)2＋(y－b)2＝b2，利用弦长得出了b的方程，解出b求得圆的方程．[例3] 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时“点P”所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？[解析] 以A、B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)(如下图)如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽________米？[解析] 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶点的铅垂直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2 ①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10∴圆的方程x2＋(y＋10)2＝100 ②总结评述：1.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)的方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程．其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及弦长，故设标准形式较简单)；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程，圆的一般形式方程下节学习．2．下面就圆的几何性质的应用作一探索：(1)圆心在弦的垂直平分线上．过点A(1,2)，B(2,2)和C(1,4)的圆的方程为____________．(2)圆上任一点到圆心的距离等于圆的半径．圆心为C(1,3)，且过点M(－1,0)的圆的方程为__________．[答案] (x－1)2＋(y－3)2＝13(3)圆心到圆的切线的距离等于圆的半径．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )[解析] 设圆心坐标为(x，y)，由题意知x>0，y＝1.[答案] B一、选择题1．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时D．2小时[答案] B[解析] 以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则台风中心P(10t,10t)，B(40,0)．以B城市为圆心，30km为半径的圆方程为(x－40)2＋y2＝302，当点P在圆内时，B城市处于危险区内，二、填空题2．根据下列所给不同条件求圆的方程．(1)圆心为C(1,3)，半径为2的圆的方程为______．(2)圆心为C(1,3)，与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．(3)圆心为C(1,3)，且过点M(0,2)的圆的方程为__________．(4)过点A(1,2)、B(3,2)和C(1,6)的圆的方程为__________．(5)过点A(1，－4)和B(3，－2)，半径为2的圆的方程为__________．(6)A(2,4)，B(－4,2)，以线段AB为直径的圆的方程为__________．(7)过点A(0,4)和B(－4,0)，圆心在直线y＝x上的圆的方程为__________．(8)过点A(2,4)，B(－1,1)被直线x－2y＝0平分的圆的方程为________．(9)已知△ABC的三个顶点的坐标为(0,0)，(1,0)和(0,2)，则△ABC的内切圆方程为__________．(10)过点P(1,0)且与y轴相切于点Q(0,3)的圆的方程为__________．[答案] (1)(x－1)2＋(y－3)2＝4(2)(x－1)2＋(y－3)2＝18(3)(x－1)2＋(y－3)2＝2(4)(x－2)2＋(y－4)2＝5(5)(x－1)2＋(y＋2)2＝4或(x－3)2＋(y＋4)2＝4(6)(x＋1)2＋(y－3)2＝10(7)x2＋y2＝16(8)(x－2)2＋(y－1)2＝9(5)设圆心C(a，b)，则|CA|＝|CB|＝2，∴圆方程为x2＋y2＝16.解法2：圆心C在线段AB的垂直平分线l：x＋y＝0上，又在直线y＝x上，内容总结4．1 圆的方程。3．若点P(m，n)在圆x2＋y2＝r2的内部，则m、n、r的关系式是.若点P(m，n)在圆x2＋y2＝r2的外部，则m、n、r的关系式是.。(2)当圆经过不共线三点时，(一)可由两边的中垂线求得圆心，进而求出半径．(二)也可设标准方程，将三点坐标代入，解三元一次方程组求得a、b、r.。(2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点与圆心的距离与半径的大小关系来判断．
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