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    第十章群与环*第十章群与环主要内容群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域*半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质10.1群的定义与性质*半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.*实例例1(1),,,,都是半群，+是...

    第十章群与环
    *第十章群与环主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域*半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质10.1群的定义与性质*半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.*实例例1(1),,,,都是半群，+是普通加法.这些半群中除外都是独异点(2)设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和·分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示矩阵加法和矩阵乘法(3)为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算(4)为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法(5)为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算(6)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如下：x,yR*,x◦y=y*例2设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群  eabceabceabcaecbbceacbae实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素*有关群的术语定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.(2)只含单位元的群称为平凡群. (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：和是无限群，是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.*定义10.3设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂.群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂.在中有23在中有(2)3=(21)3=13=111=0=23=2+2+2=6*元素的阶定义10.4设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|=k，称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元.在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.*群的性质：幂运算规则定理10.1设G为群，则G中的幂运算满足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn.证(1)(a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元.根据逆元唯一性，等式得证.(2)(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.*群的性质：方程存在惟一解定理10.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.证a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1是方程ya=b的惟一解.*例3设群G=，其中为对称差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}={b}解X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}*群的性质：消去律定理10.3G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.例4设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令aiG={aiaj|j=1,2,…,n}证明aiG=G.证由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|的子群.当n≠1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群. *子群判定定理1定理10.5（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.*子群判定定理2定理10.6（判定定理二）设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab1∈H. *子群判定定理3定理10.7（判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab∈H.*典型子群的实例:生成子群定义10.6设G为群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作.实例：例如整数加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：={e},={e,a},={e,b},={e,c}.*陪集定义与实例定义10.9设H是G的子群，a∈G.令Ha={ha|h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素. 例7(1)设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=是G的子群.H所有的右陪集是：He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.*陪集的基本性质定理10.8设H是群G的子群，则(1)He=H(2)a∈G有a∈Ha证(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha*定理10.9设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈Hbab1∈HHa=Hb陪集的基本性质证先证a∈Hbab1∈Ha∈Hbh(h∈H∧a=hb)h(h∈H∧ab1=h)ab1∈H再证a∈HbHa=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h1a任取h1a∈Ha，则有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb从而得到HaHb.反之，任取h1b∈Hb，则有h1b=h1(h1a)=(h1h1)a∈Ha从而得到HbHa.综合上述，Ha=Hb得证.*定理10.10设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G,∈Rab1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R=Ha.陪集的基本性质*左陪集的定义与性质设G是群，H是G的子群，H的左陪集，即aH={ah|h∈H}，a∈G关于左陪集有下述性质：(1)eH=H(2)a∈G，a∈aH(3)a,b∈G，a∈bHb1a∈HaH=bH(4)若在G上定义二元关系R，a,b∈G，∈Rb1a∈H则R是G上的等价关系，且[a]R=aH.(5)a∈G，H≈aH*10.3循环群与置换群定义10.10设G是群，若存在a∈G使得G={ak|k∈Z}则称G是循环群，记作G=，称a为G的生成元. 循环群的分类：n阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n阶元，则G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，称G为n阶循环群.若a是无限阶元，则G={a0=e,a±1,a±2,…}称G为无限循环群. *循环群的生成元定理10.13设G=是循环群. (1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1. (2)若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元.对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1},ar是G的生成元.(n)为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1,5,7,11，所以(12)=4.*证明证(1)显然G.ak∈G，ak=(a1)k，因此G，a1是G的生成元.再证明G只有a和a1这两个生成元.假设b也是G的生成元，则G=.由a∈G可知存在整数t使得a=bt.由b∈G=知存在整数m使得b=am.从而得到a=bt=(am)t=amt由G中的消去律得amt1=e因为G是无限群，必有mt1=0.从而证明了m=t=1或m=t=1，即b=a或b=a1*(2)只须证明：对任何正整数r(r≤n)，ar是G的生成元n与r互质. 充分性.设r与n互质，且r≤n，那么存在整数u和v使得ur+vn=1从而a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u这就推出ak∈G，ak=(ar)uk∈，即G.另一方面，显然有G.从而G=.必要性.设ar是G的生成元，则|ar|=n.令r与n的最大公约数为d，则存在正整数t使得r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.从而证明了d=1.证明*实例例10(1)设G={e,a,…,a11}是12阶循环群，则(12)=4.小于12且与12互素的数是1,5,7,11,由定理10.13可知a,a5,a7和a11是G的生成元.(2)设G=是模9的整数加群，则(9)=6.小于9且与9互素的数是1,2,4,5,7,8.根据定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z={3z|z∈Z},G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3和3.*循环群的子群定理10.14设G=是循环群. (1)设G=是循环群，则G的子群仍是循环群.(2)若G=是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3)若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群.*证明证(1)设H是G=的子群，若H={e}，显然H是循环群，否则取H中的最小正方幂元am，下面证明H=.易见H.下面证明H.为此，只需证明H中任何元素都可表成am的整数次幂.任取al∈H，由除法可知存在整数q和r，使得l=qm+r，其中0≤r≤m1ar=alqm=al(am)q由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H.因为am是H中最小正方幂元，必有r=0.这就推出al=(am)q∈*证明(2)设G=是无限循环群，H是G的子群.若H≠{e}可知H=，其中am为H中最小正方幂元.假若|H|=t，则|am|=t，从而得到amt=e.这与a为无限阶元矛盾.(3)设G=是n阶循环群，则G={a0=e,a1,…,an1}下面证明对于n的每个正因子d都存在一个d阶子群.易见是G的d阶子群.假设H1=也是G的d阶子群，其中am为H1中的最小正方幂元.则由(am)d=e可知n整除md，即n/d整除m.令m=(n/d)·l，l是整数，则有这就推出H1H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.*实例例11(1)G=是无限循环群，其生成元为1和1.对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即<0>={0}=0Z={mz|z∈Z}=mZ，m>0(2)G=Z12是12阶循环群.12正因子是1,2,3,4,6和12，G的子群:1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12*n元置换及乘法定义10.11设S={1,2,…,n},S上的任何双射函数σ:S→S称为S上的n元置换.例如S={1,2,3,4,5},下述为5元置换定义10.12设σ,τ是n元置换,σ和τ的复合σ∘τ也是n元置换,称为σ与τ的乘积,记作στ.例如*n元置换的轮换表示设S={1,2,…,n}，对于任何S上的n元置换,存在着一个有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,(可以取i1=1)使得(i1)=i2,(i2)=i3,…,(ik1)=ik,(ik)=i1令1=(i1i2…ik),是分解的第一个轮换.将写作1,继续对分解.由于S只有n个元素,经过有限步得到=12…t轮换分解式的特征轮换的不交性分解的惟一性:若=12…t和=12…s是的两个轮换表示式，则有{1,2,…,t}={1,2,…,s}*例12设S={1,2,…,8},则轮换分解式为：=(15236)(4)(78)=(15236)(78)=(18342)(567)实例*置换的对换分解设S={1,2,…,n}，=(i1i2…ik)是S上的k阶轮换，可以进一步表成对换之积，即(i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik)任何n元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积.例如8元置换=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78)=(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)*对换分解的特征对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一.例如4元置换可以有下面不同的对换表示：=(12)(13)，=(14)(24)(34)(14)表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的.如果n元置换可以表示成奇数个对换之积，则称为奇置换，否则称为偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个.*n元置换群所有的n元置换构成的集合Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群.n元对称群的子群称为n元置换群.例13设S={1,2,3}，3元对称群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)*Sn的子群n元交错群An是Sn的子群，An是所有的n元偶置换的集合.证恒等置换(1)是偶置换，所以An非空.根据判定定理三，只需证明封闭性：任取,∈An，,都可以表成偶数个对换之积，那么也可以表成偶数个对换之积，所以∈An.实例：S3的子群格S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A3={(1),(123),(132)},{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)}.*10.4环与域定义10.12设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:(1)构成交换群(2)构成半群(3)·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.*环的实例例15(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.*定理10.16设是环，则(1)a∈R，a0=0a=0(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)环的运算性质证(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.(2)a,b∈R，有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0(a)b是ab的负元.由负元惟一性(a)b=ab，同理a(b)=ab*同理可证,b1,b2,...,bm有(4)证明思路：用归纳法证明a1,a2,...,an有于是证明(4)*实例例16在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2*特殊的环定义10.13设是环(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环(3)若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环(4)若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环(5)设R是整环，且R中至少含有两个元素.若a∈R*，其中R*=R{0}，都有a－1∈R，则称R是域.*例17(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环.23=32=0，2和3是零因子.注意：对于一般的n,Zn是整环当且仅当n是素数.实例*实例例18设p为素数，证明Zp是域.证p为素数，所以|Zp|≥2.易见Zp可交换，单位元是1对于任意的i,j∈Zp,i≠0有ij=0p整除ijp|jj=0所以Zp中无零因子，Zp为整环.下面证明每个非零元素都有逆元.任取i∈Zp，i≠0，令iZp={ij|j∈Zp}则iZp=Zp，否则j,k∈Zp，使得ij=ik，由消去律得j=k.由1∈Zp，存在j∈Zp，使得ij=1.由于交换性可知j就是i的逆元.*第十章小结主要内容半群、独异点与群的定义群的基本性质子群的判别定理陪集的定义及其性质拉格朗日定理及其应用循环群的生成元和子群置换群与Polya定理环的定义与性质特殊的环*第十章基本要求判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群熟悉群的基本性质能够证明G的子集构成G的子群熟悉陪集的定义和性质熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用会用Polya定理进行计数会求循环群的生成元及其子群熟悉n元置换的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、乘法以及n元置换群能判断给定代数系统是否为环和域*有关群性质的证明方法有关群的简单证明题的主要类型证明群中的元素某些运算结果相等证明群中的子集相等证明与元素的阶相关的命题.证明群的其它性质，如交换性等.常用的证明手段或工具是算律：结合律、消去律和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等幂运算规则和元素的阶相关的性质.特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1=a.*证明方法证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简.证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等.证明两个元素的阶r和s相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除.在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质.特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1=a.
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