2009年考研数学公式总结大全(高等数学)

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 高等数学简明公式 第一章 初等数学 一、初等代数 1． 乘法公式与因式分解 1. 2.( ) 222 2 bababa +±=± ( ) bcacabcbacba 2222222 ++++++=++ 3. ( )( )bababa +−=− 22 4. ( ) 32233 33 babbaaba ±+±=± 5. ( )( )2233 babababa +±=± m 6. ( )( )122321 −−−−− +++++−=− nnnnnnn babbabaababa LL 2．比例 d c b a = （1）合比定理 d dc b ba +=+ （2）分比定理 d dc b ba −=− （3）合分比定理 dc dc ba ba − +=− + （4）若 f e d c b a == ，则令 t f e d c b a === 于是 fdb eca f e d c b a ++ ++=== （5）若 与y x成正比，则 （ 为比例系数） （6）若 与kxy = k y x成反比，则 x ky = （ 为比 例系数） k 3．不等式 （1）设 ，则 （2）设 为正整数，则0,0 >>> nba nn ba > nba ,0>> nn ba > （3）设 d c b a < ，则 d c db ca b a <+ +< （4）非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即 , 2 abba ≥+ 3 3 abccba ≥++ ， n nn aaaan aaaa LL 321321 ≥+++ （5）绝对值不等式 1） baba +≤+ 2） baba +≤− 3） baba −≥− 4） aaa ≤≤− 4．二次方程 02 =++ cbxax （1）根： a acbbx 2 42 1 −+−= a acbbx 2 42 2 −−−= （2）韦达定理： a cxx a bxx =−=+ 2121 , （3）判别式 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < = > −=Δ 方程没有实根 方程有两相等实根 方程有了两不等实数根 ,0 ,0 ,0 42 acb 5．一元三次方程组的韦达定理： 1 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 若 的三个根分别为 则 023 =+++ rqxpxx 321 xxx 、、 pxxx −=++ 321 ， qxxxxxx =⋅+⋅+⋅ 133221 ， rxxx −=⋅⋅ 321 6．指数 （1） （2） （3）nmnm aaa +=⋅ nmnm aaa −=÷ ( ) mnnm aa = （4） （5）( ) mmm baab = m mm b a b a =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ （6） m m a a 1=− 7．对数 ( )0,1,0,log >≠> NaaNa （1）对数恒等式 ，更常用 （2）NaaN log= NeN ln= ( ) NMMN aaa logloglog += （3） NM N M aaa logloglog −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ （4） ( ) MnM ana loglog = （5） M n M ana log 1log = （6）换底公式 a MM b b a log log log = （7） （8）01log =a 1log =aa 8．数列 （1）等差数列 设 －首项 －通项 d －公差 －前 项和 1a na nS n 1） 2）( )dnaan 11 −+= ( )dnnnanaaS nn 2 1 2 1 −+=+= 3）设 成等差数列，则等差数列中项cba ,, ( )cab += 2 1 （2）等比数列 设 －首项 －公比 －通项，则 1a q na 1）通项 2）前 项和11 −= nn qaa n ( ) q qaaqqaS n n n − −=− −= 11 1 11 （3）常用的几种数列的和 1 ） ( 1 2 1321 +=++++ nnnL ) 2 ） ( )( 121 6 1321 2222 ++=++++ nnnnL ) 3 ） ( ) 23333 1 2 1321 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=++++ nnnL 4 ） 2 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ( ) ( )( 21 3 11433221 ++=+++⋅+⋅+⋅ nnnnnL ) 5） ( )( ) ( )( )( 321 4 12143232 )+++=++++⋅⋅+⋅⋅ nnnnnnnK ) 1 9．排列、组合与二项式定理 （1）排列 ( )( ) ([ ]121P −−−−= mnnnnmn L （ 2 ） 全 排 列 ( )( ) !12321P nnnnnn =⋅⋅−−= L （ 3 ） 组 合 ( ) ( ) ( )!! ! ! 11C mnm n m mnnnm n −= +−−= L 组合的性质： 1） 2）C mnn m n −= CC 111 CC −−− += mnmnmn （4）二项式定理 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] nkknnnnn bba k knnnbannbnaaba ++−−−++−++=+ −−− LLL ! 11 !2 1 221 二、平面几何 1．图形面积 3 h a b ϕ h a b ϕ o r l θo r l θ R H l R H l （1）任意三角形 ( )( )( )csbsassCabbhS −−−=== sin 2 1 2 1 其中 ( )cbas ++= 2 1 （2）平行四边形 ϕsinabbhS == （3）梯形 S=中位线×高 （4）扇形 θ2 2 1 2 1 rrlS == 2．旋转体 （1）圆柱 设 R －底圆半径，H －柱高，则 1）侧面积 ,2 RHS π＝侧 2）全面积 ( )RHRS +π2＝全 3）体积V （2）圆锥 （ HR 2π＝ 22 HRl 母线） += b A C B hc a b A C B hc a ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1）侧面积 RlS π＝侧 2）侧面积 ( RlRS + )π＝全 3)体积 HRV 23 1π= （3）球 4 设 R －半径， d －直径，则 1） 全 面 积 2）体积 24 RS π=全 33 4 RV h r R h r R π= （4）球缺（球被一个平面所截面得到的部分） 1）面积 RHS π2= （不包括底面） 2）体积 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 3 2 hRhV π 3．棱柱及棱锥：设 －底面半径，S H －高 （1） 棱柱体积V SH= （2） 棱锥体积 SHV （3）正棱锥侧面积 3 1= 2 1=A × 底面积×母线长 三、平面三角 1． 三角函数间的关系 （1） sin 1secα =α （2） 1csccos =αα （3） tan 1cotα =α （4） sin 1cos22 =+ αα =+ =+（5）1 （6）1 （7）αα 22 sectan αα 22 csccot α αα cos sintan = （8） α αα sin coscot = 2．倍角三角函数 （1） ααα cossin22sin （2）cos = 2222 −=−=−= ααααα 1cos2sin21sincos2 （3） α αα 2tan1 tan22tan −= （4） α αα cot2 cot12cot 2−= （5） 2 2cos1sin − α= （6） 2 2cos1cos2 αα += 2 α 3．三角函数的合差化积公式 （1） 2 cos 2 sin2sinsin α β α ββα −+=+ （2） 2 sin 2 cos2sinsin α βαββα −+=− （3） 2 cos 2 cos2coscos α β α ββα −+=+ （4） 2 sin 2 sin2coscos α β α ββα −+−=− （5） ( ) ([ ]βαβαβα −++= sinsin 2 1cos )sin （6） ( ) ([ ]βαβαβα −++= coscos 2 1cos )cos ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （7） ( ) ([ ]βαβαβα −−+= sinsin 2 1sincos ) （8） ( ) ([ ]βαβαβα −−+−= coscos 2 1sinsin ) 4．边角关系 （1）正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin === ，R为外接圆半径 （2）余弦定理 Abccba cos2222 −+= ， ， Bcaacb cos2222 −+= Cabbac cos2222 −+= 5．反三角函数 恒等式 （1） ( )22 11arcsinarcsinarcsin xyyxyx −±−=± （2） ( )( )( )22 11arccosarccos yxxyarccoyx −−=± m （3） ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ±=± xy yxyx m1arctanarctanarctan （4） 2 arccosarcsin π=+ xx （5） 2 cotarctan π=+ xarcx 5 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第二章 解析几何 一、基本问题 1．两点间距离公式 （1）设 ( ) ( )2211 ,,, yxByxA 为平面上两点，则 A与 B 的距离 ( ) ( )22212 yyxxd −+−= （2）设 则( ) ( ) A与 B 的距离 ( ) ( ) ( )21222212 zzyyxxd −+−+−= 222111 ,,,,, zyxBzyxA 2．定比分点公式 （1）设 式线段( yxM , ) AB 的分点 1） ⎩⎨ ⎧ < >= 时，外分 时，内分 0 0 , λ λλ MB AM 则 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ + += + += λ λ λ λ 1 1 21 21 yyy xxx 2）设M 为 AB 中点时， ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += += 21 21 2 1 2 1 yyy xxx （2）设 是空间线段 的分点 ( zyxM ,, ) AB 1） ⎩⎨ ⎧ < >= 时，外分 时，内分 0 0 , λ λλ MB AM 则 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + += + += + += λ λ λ λ λ λ 1 1 1 21 21 21 zzz yyy xxx 2）设M 为 AB 中点时， ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 21 21 21 2 1 2 1 2 1 zzz yyy xxx 3．平面上不在同一直线上的三点 ( ) ( ) ( )332211 ,,,,, yxCyxByxA 所围三角形面积 1 1 1 2 1 33 32 11 yx yx yx S = 的绝对值。 二、 直线与平面方程 1. 平面直线方程： （1）一般式： ，斜率0=++ CByAX B Ak −= 。 （2）斜截式： bkxy += ，其中 为斜率，b为k y 轴 截距 （3）点斜式： ( 00 xxkyy − )=− 直线过点 ( )00 , yx ，斜率为 k。 （4）截距式： 1=+ b y a x ，其中 baba ,,0,0 ≠≠ 为 x轴、 轴上截距。 y （5）两点式： 12 1 2 1 xx xx yy yy − −=− − 或 0 1 1 1 22 11 = yx yx yx （6）参数式： 斜率为 ⎩⎨ ⎧ += += , , 0 0 mtyy ktxx l mk = ，过 点。 ( )00 , yx 2．空间直角坐标系中的平面方程 （1）一般式 0=+++ DCzByAx 6 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1） ，通过原点 2）0=++ CzByAx 0=++ DByAx ，与 轴平行 3） ， 通过 轴 z 0=+ ByAx z （2）点法式： ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA 过 ( )000 ,, zyx 点，法矢量 CBAn ,,= （3）截距式： 1=++ c z b y a x （4）三点式： 0 1 1 1 1 333 222 111 = zyx zyx zyx zyx ，这里 ( ) ( ) ( )333222111 ,,,,,,,, zyxzyxzyx 为平面所过的三点。 三、点线与点面距离 （1）点 到直线 的距离( 00 , yx ) 0=++ CByAX 22 00 BA CByAx d + ++= （2）点 到平面( )000 ,, zyx 0=+++ DCzByAx 的距离 222 000 CBA DCzByAx d ++ +++= 注意：平面上的直线对应于空间上的平面。 四、空间直线方程 （1）一般式： 其中 ⎩⎨ ⎧ =+++ =+++ ;0 ;0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 22 11 22 11 22 11 ,, BA BA AC AC CB CB 为方向数。 （2）参数式： 直线过 ( ，方向参数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += += ; ; ; 0 0 0 ntzz mtyy ltxx )000 ,, zyx nml ,, （3） 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 式（对称式）： n zz m yy l xx 000 −=−=− ，直线过 ( )000 ,, zyx ，方向数 nml ,, （4）两点式： 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx − −=− −=− − ，直线过 ( ) ( )222111 ,,,,, zyxzyx 。 五、直线间、平面间、直线与平面间的关系 1．设直线 ，令0: 1111 =++ CyBxAL 1 1 1 B Ak −= ,令0: 2222 =++ CyBxAL 2 2 2 B Ak −= （1） ∥1L 2L 21 kk =⇔ 或 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= （2） 12121 −=⋅⇔⊥ kkLL 或者 02121 =+ BBAA 21 12 1 tan: kk kk + −=θθ （3）重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ==⇔ （4）夹角 2．设平面 ;0: 11111 =+++ DzCyBxAπ 平面 ;0: 22222 =+++ DzCyBxAπ 直线 1 1 1 1 1 1 1 : n zz m yy l xxL −=−=− 直线 2 2 2 2 2 2 2 : n zz m yy l xxL −=−=− 7 （1）平面间夹角θ ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos CBACBA ++++ CCBBAA +=θ + ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 平面 1π ∥平面 2π 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ==⇔ 平面 1π ⊥平面 2π ⇔ 0212121 =++ CCBBAA （2）直线间夹角θ ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos nmlnml nnmmll ++++ ++=θ 直线 ∥直线1L 2L 2 1 2 1 2 1 n n m m l l ==⇔ 直线 ⊥直线1L 2L ⇔ 0212121 =++ nnmmll （3）直线与面的夹角θ , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 111111sin CBAnml CnBmAl ++++ ++=θ 直线 ∥平面1L 1π 0111111 =++⇔ nCmBlA 直线 ⊥平面1L 1π 1 1 1 1 1 1 C n B m A l ==⇔ 六、重要曲线与重要曲面 1．平面曲线 x y o ( )al, ( )al −− , x y o ( )al, ( )al −− , （1）立方抛物线 ( )03 >= aaxy （2）半立方抛物线 ) （3）抛物线( 03 >= aaxy ( )0212121 >=+ aayx 或 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = tay tax 4 4 sin cos a ao x y a ao x x y o x y o y 8 o a θ a x y o a θ a x y x0 y =++ ayx x0 y =++ ayx （4）箕舌线 22 3 4 8 ax ay += 或 （5）叶形线 ，令 ， 则 ⎩⎨ ⎧ = = θ θ 2cos2 tan2 ay ax 0333 =−+ axyyx txy = ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += += 2 2 2 1 3 1 3 t aty t atx ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （6）双纽线 ( ) 或 （7）摆线 ⎨ ( )222222 yxayx −=+ θρ 2cos22 a= ⎧ −= −= tay ttax cos1 sin( )( )⎩ x y 4545 a x y 4545 a x y t a 0=t π2=to x y t a 0=t π2=to （8）悬链线 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += −a x a x eeay 2 或 a xachy = （9）心脏线 ( )θρ cos1+= a 9 x y a y o x y o x y a x （10）概率曲线 （11）阿基米德螺线 2xey −= θρ a= o x o x o x y 1−e o x y 1−e （12）等角螺线 （13）星形线θρ ae= 3 2 3 2 3 2 ayx =+ 或 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = tay tax 3 3 sin cos x y o a axe2 x y o a axe2 （14）三叶玫瑰线 θρ 3sina= （15）四叶玫瑰线 θρ 2sina= θρ 2cosa= ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 a aa a x y a aa a x y x y a a a x y a a a x y a a a a x y a a a a 2．空间曲 线 （1）一般方程 （2）参数方程( )( )⎩⎨ ⎧ = = 0,, 0,, zyxg zyxf ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = tzz tyy txx （3）圆柱螺线 （4）圆 锥螺线 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ktz tay tax sin cos ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= atz tty sin cos= ttx 3．空间曲面 （1）球面 ,球心在原点，半径为2222 Rzyx =++ R . ( ) ( ) ( ) 2222 Rczbyax =−+−+− 球心在 ，半径为( cba ,, ) R . （2）椭球面 1222 =++ c z b y a x 222 ,,其中 a 为三个半径，在cb ( )000 ,, zyxM 处的切平面方程为 12 0 2 0 2 0 =++ c zz b yy a xx （3）单叶双曲面 1222 =−+ c z b y a x 222 （4）双叶双曲面 1222 −=−+ c z b y a x 222 （5）椭圆抛物线 cz b y a x 222 =+ 22 （6）双曲抛物线 cz b y a x 222 =− 22 ( )⎧ = 0, zxf （7）旋转面曲线 绕 ⎩⎨ = 0y x轴旋转 ( ) 0, 22 =+± zyxf 绕 轴旋转z ( ) 0,22 =+± zyxf ( ) = = 0 0, y zxf ⎩⎨ ⎧ ，则一般方程 0, =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− z n mY n lXf ，则母线方向数 。 nml ,,（8）柱面 设准线为 特殊方程： 1） 母线∥ 轴，准线 2）( ) 0, =YXf z ( ) ⎩⎨ ⎧ = = 0 0, z yxf ( ) 0, =ZYϕ 母线∥ x轴，准线 ⎨ ( )⎩ ⎧ = = 0 0, x zyϕ 3） ( ) 0, =XZϕ 母线∥ 轴，准线 ⎨ y ( )⎩ ⎧ = = 0 0, y zxψ ( ) ⎩⎨ ⎧ = = cz yxf 0, 10 （9）锥面 准线 ,定点为原点，则一般方程： 0, =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Z cY Z cXf ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 特殊方程： 1） 02 2 2 2 2 2 =−+ c Z b Y a X ，以 轴为对称轴，准线z ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+ cz b y a x 012 2 2 2 2） 02 2 2 2 2 2 =+− c Z b Y a X ，以 轴为对称轴，准线y ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+ by c y a x 012 2 2 2 3） 02 2 2 2 2 2 =++− c Z b Y a X ，以 x轴为对称轴，准线 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+ ax c y b x 012 2 2 2 11 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 解三健 考研梦网 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第三章 矢量代数 一、定义 设矢量 { }zyxzkxjxia ,,=++= （1）矢量 的模a 222 zyxa ++= （2）单位矢量 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++++++ == 222222222 ,, zyx z zyx y zyx x a aao （3）矢量 的方向余弦a 222222222 cos,sin,cos zyx z zyx y zyx x ++ = ++ = ++ = γβα （4）设 ( ) ( ),,,,,, 2222111 zyxMzyxM ，则 { }12121221 ,, zzyyxxMM −−−= 二、矢量的运算 1．加减运算 设a { } { } { }212121 ,, zzyyxxba222111 ,,,,, zyxbzyx == 则 = ± ± ±± 2．数乘矢量 设 { } λ,,, zyxa = 为数量， 则， { }zyxa λλλλ ,,= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > = 反向与则－ 为零矢量，则＝， 同向与则 aaaa a aaaa a λλλ λλ λλλ λ ,0, 0 0 ,0, 0 0 3．矢量的数积（点积，内积） 设 { } { ,,,,,, 222111 zyxbzyxa }== 则矢量a与 的数量积b ( ) 21z2121,cos zyyxxbababa ++==⋅ 4．矢量的矢积（叉积，外积） 设两矢量a与 ，若 一个矢量c，满足条件： b ∃ ① ( babac ,sin= )； ② ,, bcac ⊥⊥ 即c垂直于 所确定的平面； ③ 成右手系 ba, cba ,, k yx yx j zx zx i zy zy zyx zyx kji ba bac 22 11 22 11 22 11 222 111 +−==× ×= 则矢量c称为矢量于 a 的矢量乘积，记为 b, 5．混合积 设有三个矢量 { } { } { }333222111 ,,,,,,,, zyxczyxbzyxa === ,先作 a 的矢积b ba× 再与c作数乘积 ( ) ， 则称其为 a 的混合积，记做 [ ] cba× cb,, cba ,, 12 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 [ ] ( ) 333 222 111 ,, zyx zyx zyx cbacba =⋅×= [ ] ,, cba 表示以 为棱的平行六面体积。 cba ,, 13 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第四章 高等代数 1．两个重要极限： ..590457182818284.2)11(lim 1sinlim 0 ==+ = ∞→ → e x x x x x x 2．基本导数公式： ax x aaa xxx xxx xx xx a xx ln 1)(log ln)( cotcsc)(csc tansec)(sec csc)(cot sec)(tan 2 2 =′ =′ ⋅−=′ ⋅=′ −=′ =′ 2 2 2 2 1 1)tan( 1 1)(arctan 1 1)(arccos 1 1)(arcsin x xarcc x x x x x x +−=′ +=′ −−= ′ −= ′ 3．一些初等函数： 双曲正弦： , 2 x xe eshx −−= 双曲余弦： 2 x xe echx −+= 双曲正切： 2, ln( x x x x shx e e 1arshx x x chx e e − − −= = = + ++ ）thx 2 1 1ln( 1), ln 2 1 xarchx x x arthx x += ± + − = − 4．三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tan cot -α -sinα cosα -tanα -cotα 90°-α cosα sinα cotα tanα 90°+α cosα -sinα -cotα -tanα 180°-α sinα -cosα -tanα -cotα 180°+α -sinα -cosα tanα cotα 270°-α -cosα -sinα cotα tanα 270°+α -cosα sinα -cotα -tanα 360°-α -sinα cosα -tanα -cotα 360°+α sinα cosα tanα cotα 14 ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin βαβαβα βαβαβα βαβαβα α βαββα −+−=− −+=+ −+=− −+α β α β α =+ αβ βαβα βα βαβα βαβαβα tantan 1tantan)cot( tantan1 tantan)tan( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( ± ⋅=± ⋅ ±=± =± ±=± m m m β ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 解三健 新建图 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 15 ·倍角公式： ααααα ααα 2222 sincossin211cos22cos cossin2 −=−=−= 2sin = α ααα αα 2 2 tan1 tan22tan, tan2 1tan2cot −= −= ·半角公式： α α α α α αα α α α α α αα αααα cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 cot, cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos, 2 cos1 2 sin −= +=− +±=+= −=+ −±= +±=−±= 　　 　　　　　　　　　　　 R C c B b A a 2 sinsinsin ===·正弦定理： ·余弦定理： ·反三角函数性质： Cabbac cos2222 −+= xarcxxx cot 2 arctanarccos 2 arcsin −=−= ππ 　　　 5．高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnnvunnvnuvu vuCuv +++−−++′′−+′+= = −−− = −∑ LLL ．中值定理与导数应用： 6 拉格朗日中值定理： ( )f b ( ) ( )( )f a f b aξ′= − − 柯西中值定理： ( )f b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f F b F a F ′− ξ ξ= ′− 当F( )x x= 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 7．曲率： 弧微分公式： 21 ,ds y dx y tgα′ ′= + =其中 .K s αΔ= Δ :αΔ 点，切线斜率的倾角变化量； s MM ′Δ ：从 点到M M′平均曲率： 弧长。 点的曲率：M 2 30 lim . (1 )s ydK s ds y α α Δ → ′′Δ= = =Δ ′+ 直线： 半径为 的圆：0;K = a 1 .K a = 8．泰勒公式 设函数 在区间 内具有)(xf ),( ba 1+n 阶导数， ),(0 bax ∈ ，则在区间 内， 可表为 ),( ba )(xf )()( ! )( )( !2 )( ))(()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxxn xf xx xf xxxfxfxf n n n +−++−′′+−′+= L 。 其中 10 )1( )( )!1( )()( + + −+= n n n xxn fxR ξ ，ξ 是介于 和0x x之间的某个数。 ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 16 称为 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式，即 n)(xRn 00 =x 1 )1()( 2 )!1( )( ! )0( !2 )0( )0()0()( + + ++++ ′′+′+= n n n n x n fx n fxfxffxf ξL 其中ξ 在 与0 x之间。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时, 只要求函数 在区间 内具有 阶导数)为: )(xf ),( ba n ))(()( ! )( )( !2 )( ))(()()( 00 0 )( 2 0 0 000 nn n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf −+−++−′′+−′+= L 其中 为 的高阶无穷小量，要求 具有 阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的 阶泰勒公 式之处。 )( nxo nx )(xf n n 读者应该熟悉五类基本初等函数在 0=x 处的 阶泰勒公式(n ξ 在0 与 x之间) (1) ),( , )!1( 1)( 1 +∞−∞∈+= + xxe n xR nn ξ)( ! 1 !2 11 2 xRx n xxe n nx = +++++ L ，其中 。 (2) )( )!12( 1)1( !5 1 !3 1sin 12 12153 xRx n xxxx n nn − −− +−−+−+−= L ， 其中 ),( ,)sin( )!2( 1)( 212 +∞−∞∈+=− xxnnxR n n πξ 。 (3) )( )!2( 1)1( !4 1 !2 11cos 2 242 xRx n xxx n nn +−+−+−= L ， 其中 ),( ,) 2 12cos( )!12( 1)( 122 +∞−∞∈+++= + xxn n xR nn πξ 。 (4) )( ! )1()1( !2 )1(1)1( 2 xRx n nxxx n n ++−−++−++=+ ααααααα LL ， 其中 ),(),,1( ,)1( )!1( )()1()( 11 +∞−∞∈+∞−∈++ −−= +−− αξααα α xx n nxR nnn L 。 (5) )(1)1( 3 1 2 1)1ln( 132 xRx n xxxx n nn +⋅−+−+−=+ −L ， 其中 ),1( , )1)(1( 1)1()( 1 +∞−∈++−= + xnxR n n n ξ 9．无穷小量比阶 设 为某种趋向 时的无穷小量，若满足)(⋅→x μβ α = ⋅→ )( )(lim )( x x x )(xα 与 )(xβ 则 (1) 当 与 )(xβ )(⋅→x ），特别 1=μ0≠μ 时，称 )(xα 为同阶无穷小量（ 时，称 )(xα )(xβ与 为 量（等价无穷小 ( )⋅→ )xx ），可记为 )(~ xβ 。 (α ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 17 （2）当 0=μ 时，称 )(xα 是比 )(xβ 高阶的无穷小量（ )(⋅→x ）。 （3）当 时，称 )(xα 是比 )(xβ 低阶的无穷小量（ )(⋅→x∞=μ ）。 常用等价无穷小量（ ） 广义 下应用，即等价关系中的 0→x )1ln(~tanx~sinx~ xx + 21~cos1 xx− axx ln 0>a xe x ~1− xx λλ ~1)1( −+ R 2 a ~1− 注： （1）以上 等价关系可在 x在应用中常换为满足 (lim )( = ⋅→x 0)xα 的某个 )(xα 。 （2） 价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位置上进行，因在极限运算中，可以用等 等价无穷小量是用因子乘积 )(xβ 1)(xα ⋅ 定义的。 10．基本积分表： 不定积分： ； ； Cdx =∫ 0 Cxdx +=∫1 Ca xaa +1dxx ++=∫ 1 ； Cxdx x +=∫ ln1 Ca adxa x x +=∫ ln Cedxe xx +=∫ ∫ +−= Cxxdx coslntan ∫ += Cxdxcot xsinln ∫ ++ xx tanc= Cxdx selnsec ∫ +−= Cxxxdx cotcsclncsc ∫ ∫ ++ −=− +=+ C ax ax aax dx C a x axa dx ln 2 1 arctan1 22 22 C a x xa dx C xa xa axa dx +=− +− +=− ∫ ∫ arcsin ln 2 1 22 22 ∫ ∫ ∫ ∫ + Cx−== +== xdx x dx Cxxdx x dx cotcsc sin tansec cos 2 2 2 2 ∫ ∫ +−=⋅ +=⋅ Cxxdxx Cxdxxx csccotcsc sectansec ∫ ∫ += += Cchxshxdx C a adxa x x ln ∫ ∫ +±+=± += Caxx ax dx Cshxchxdx )ln( 22 22 ∈λ 3 6 1~sin xxx −− ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 18 2 0 2 0 1cossin −== ∫∫ nnn nnxdxxdxI ππ ＝ 2−nI ∫ +++++=+ Caxxaaxxdxax )ln(22 22 2 2222 Caxxaaxxdxax +−+−−=−∫ 2222222 ln22 ∫ ++−=− Caxaxaxdxxa arcsin22 2 2222 ∫ −− ++++++ y 4)L+++−≈ba nnn yyyyyyynabdxxf )]((2)[(3)( 1312420 L ????（www.kaoyandream.com.cn）???? 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 三角有理分式 的积分 )cos,(sin xxR （1）半角替换： 记 2 tan xt = , 则 21 2sin t tx += ， 2 2 1 1cos t tx + −= ， dt t dt 21 2 += ， 于 是 可 将 三 角 有 理 分 式 的不定积分 化为关于 t的有理分式积分。 )cos,(sin xxR ∫ dxxxR )cos,(sin （2）三角替换 若 = , 则取变换)cos,sin( xxR − )cos,(sin xxR− xt cos= ， xdxdt sin−= ， x dtdx sin −= 。 若 = , 则取变换)cos,(sin xxR − )cos,(sin xxR− xt sin= ， x dtdx cos = 。 若 = , 则取变换)cos,sin( xxR −− )cos,(sin xxR xt tan= ， 。 xdtdx 2cos= 定积分应用相关公式： (1) ∫∫ −= abba dxxfdxxf )()( (2) 对积分区间的可加性: ∫∫∫ +=∈∀ bccaba dxxfdxxfdxxfRc )()()(, (3) 对被积函数满足线性性: [ ] ∫∫∫ +=+ bababa dxxgBdxxfAdxxBgxAf )()()()( (4) 保序性（保号性）: 若可积函数 ],[,0)( baxxf ∈∀≥ , 则 。 0)( ≥∫ ba dxxf 若可积函数 满足 , 则 。 )(),( xgxf )()( xgxf ≥ ∫∫ ≥ baba dxxgdxxf )()( 特别，若非负连续函数 在 上不恒为零， 则 。 )(xf ],[ ba 0)( >∫ ba dxxf (5) 若 在 上可积, 则)(xf ],[ ba )(xf 在 上也可积, 且],[ ba ∫∫ ≤ baba dxxfdxxf )()( (6) 估 值 定 理 : 若 可 积 函 数 在 上 满 足)(xf ],[ ba Mxfm ≤≤ )( , 则 )()()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 进 一 步 , 若 函 数 在 上 非 负 可 积 , 则 （