高考数学总复习资料高考数学总复习资料 高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练 复习目标: 1.掌握分类讨论必须遵循的原则 2.能够合理,正确地求解有关问题 命题分析: 分类讨论是一种重要的逻辑方法,也是一种常用的数学方法,这可以培养学生思维的条理性和概括性,以及认识问题的全面性和深刻性,提高学生分析问题,解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中,尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况. 重点题型分析: 例1.解关于x的不等式:...
1}. 若q∈A,同样可知q>0.由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)<0,得 当a1>0时,那么0<q<1;当a1<0时,则q>1. 亦可知 B={q | 01}. 故知A∩B={q | 01}. 说明:貌似无法求解的问题,通过数列的基本量,很快就找到了问题的突破口! 例2.求数列1,(1+2),(1+2+22),……,(1+2+22+……+2n-1),……前n项的和. 分析:要求得数列的和,当务之急是要求得数列的通项,并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为an,则an=1+2+22+……+2n-1= eq \f(1·(1-2n),1-2) =2n-1.从而该数列前n项的和 Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(2+22+23+…+2n)-n= eq \f(2·(1-2n),1-2) -n=2n+1-n-2. 说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式: 3、 4、 5、 常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和;错位相减法求和;反序相加法求和;分组法求和;裂项法求和;合并法求和;利用数列的通项求和等等。 例3.已知等差数列{an}的公差d= eq \f(1,2) ,S100=145.设S奇=a1+a3+a5+……+a99,S'=a3+a6+a9+……+a99,求S奇、S'. 解:依题意,可得 S奇+S偶=145, 即S奇+(S奇+50d)=145, 即2 S奇+25=145, 解得,S奇=120. 又由S100=145,得 eq \f((a1+a100)100,2) =145,故得a1+a100=2.9 S'=a3+a6+a9+……+a99 = eq \f((a3+a99)33,2) = eq \f((a2+a100)33,2) = eq \f((0.5+a1+a100)33,2) = eq \f((0.5+2.9)33,2) =1.7·33=56.1. 说明:整体思想是求解数列问题的有效手段! 例4.在数列{an}中,a1=b(b≠0),前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 (1)求证:数列{an}不是等比数列; (2)设bn=a1S1+a2S2+…+anSn,|q|<1,求 bn。 解:(1)证明:由已知S1=a1=b ∵{Sn}成等比数列,且公比为q。 ∴Sn=bqn-1,∴Sn-1=b·qn-2(n≥2)。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bqn-1-bqn-2=b·(q-1)·qn-2 故当q≠1时, eq \f(an+1,an) = eq \f(b(q-1)·qn-1,b(q-1)·qn-2) =q, 而 eq \f(a2,a1) = eq \f(b(q-1),b) =q-1≠q,∴{an}不是等比数列。 当q=1,n≥2时,an=0,所以{an}也不是等比数列。 综上所述,{an}不是等比数列。 (2)∵|q|<1,由(1)知n≥2,a2,a3,a4,…,an构成公比为q的等比数列,∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列。 ∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n-4) ∵S2=bq,a2=S2-S1=bq-b ∴a2S2=b2q(q-1) ∴bn=b2+b2q(q-1)· eq \f(1-q2n-2,1-q2) ∵|q|<1 ∴ q2n-2=0 ∴ bn=b2+b2q(q-1)· eq \f(1,1-q2) = eq \f(b2,1+q) 说明: 1+q2+q4+…+q2n-4的最后一项及这个式子的项数很容易求错,故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关,它取决于n→∞时,数列变化的趋势。 二、数列应用题 例5. (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业. 根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 eq \f(1,5) .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 eq \f(1,4) 。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元. 写出an,bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解:第1年投入800万元,第2年投入800×(1- eq \f(1,5) )万元……, eq \f(5,4) 第n年投入800×(1- eq \f(1,5) )n-1万元 所以总投入an=800+800(1- eq \f(1,5) )+……+800×(1- eq \f(1,5) )n-1=4000[1-( eq \f(4,5) )n] 同理:第1年收入400万元,第2年收入400×(1+ eq \f(1,4) )万元,……, 第n年收入400×(1+ eq \f(1,4) )n-1万元 bn=400+400×(1+ eq \f(1,4) )+……+400×(1+ eq \f(1,4) )n-1=1600×[( eq \f(5,4) )n-1] (2)∴bn-an>0,1600[( eq \f(5,4) )n-1]-4000×[1-( eq \f(4,5) )n]>0 化简得,5×( eq \f(4,5) )n+2×( eq \f(5,4) )n-7>0 设x=( eq \f(4,5) )n,5x2-7x+2>0 ∴x< eq \f(2,5) ,x>1(舍) 即( eq \f(4,5) )n< eq \f(2,5) ,n≥5. 说明:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关:(1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容;(2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述事件;(3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意义的解答。 例6.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化。 (1)设全县面积为1,2001年底绿化面积为a1= eq \f(3,10) ,经过n年绿化总面积为an+1 求证an+1= eq \f(4,25)+ eq \f(4,5) an (2)至少需要多少年(年取整数,lg2=0.3010)的努力,才能使全县的绿化率达到60%? (1)证明:由已知可得an确定后,an+1表示如下:an+1= an(1-4%)+(1-an)16% 即an+1=80% an +16%= eq \f(4,5) an + eq \f(4,25) (2)解:由an+1= eq \f(4,5) an+ eq \f(4,25)可得: an+1- eq \f(4,5) = eq \f(4,5) (an- eq \f(4,5) )=( eq \f(4,5) )2(an-1- eq \f(4,5) )=…=( eq \f(4,5) )n(a1- eq \f(4,5) ) 故有an+1=- eq \f(1,2) ( eq \f(4,5) )n+ eq \f(4,5) ,若an+1≥ eq \f(3,5) ,则有- eq \f(1,2) ( eq \f(4,5) )n+ eq \f(4,5) ≥ eq \f(3,5) 即 eq \f(1,2) ≥( eq \f(4,5) )n-1 两边同时取对数可得-lg2≥(n-1)(2lg2-lg5)=(n-1)(3lg2-1) 故n≥ eq \f(lg2,1-3lg2) +1>4,故使得上式成立的最小n∈N+为5, 故最少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到60%. 三、归纳、猜想与证明 例7.已知数列{ an}满足Sn+an= eq \f(1,2) (n2+3n-2),数列{ bn}满足b1=a1, 且bn=an-an-1-1(n≥2). (1)试猜想数列{ an}的通项公式,并证明你的结论; 解:(1)∵Sn+an= eq \f(1,2) (n2+3n-2),S1=a1,∴2a1= eq \f(1,2) (1+3×1-2)=1, ∴a1= eq \f(1,2) =1- eq \f(1,2) .当n=2时,有 eq \f(1,2) +2a2= eq \f(1,2) (22+3×2-2)=4, ∴a2= eq \f(7,4) =2- eq \f(1,22) 猜想,得数列{ an}的通项公式为an=n- eq \f(1,2n) (2)若cn=b1+b2+…+bn,求 的值. 当n=3时,有 eq \f(1,2) + eq \f(7,4) +3a3=8, ∴a3= eq \f(23,8)=3-. eq \f(1,23) 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,a1=1- eq \f(1,2) = eq \f(1,2) ,等式成立. ②假设n=k时,等式ak=k- eq \f(1,2k) 成立,那么 n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=[ eq \f((k+1)2+3(k+1)-2,2) -ak+1]-[ eq \f(k2+3k-2,2) -ak], .∴2 ak+1=k+2+ak, 2 ak+1=k+2+(k- eq \f(1,2k) ), ∴ak+1=(k+1)- eq \f(1,2k+1) ,即当n=k+1时,等式也成立. 综上①、②知,对一切自然数n都有an=n- eq \f(1,2n) 成立. (2)∵b1=a1= eq \f(1,2) ,bn=an-an-1-1=[n- eq \f(1,2n) ]-[(n-1)- eq \f(1,2n-1) ]-1= eq \f(1,2n) . ∴cn=b1+b2+…+bn=1-( eq \f(1,2) )n, ∴ = [1-( eq \f(1,2) )n]=1. 例8.已知数列{an}满足a1=2,对于任意的n∈N,都有an>0,且(n+1) an2+an an+1-n an+12=0.又知数列{bn}满足:bn=2n-1+1.. (Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn; (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn; (Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系,并说明理由. 解:(n+1) an2+an an+1-n an+12=0.是关于an和an+1的二次齐次式,故可利用求根公式得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出an . (Ⅰ)∵an>0(n∈N),且(n+1) an2+an an+1-n an+12=0, ∴ (n+1)( eq \f(an,an+1))2+( eq \f(an,an+1))-n=0. ∴ eq \f(an,an+1)=-1或 eq \f(an,an+1)= eq \f(n,n+1) . ∵an>0(n∈N),∴ eq \f(an,an+1)= eq \f(n,n+1) . ∴ eq \f(an,a1)= eq \f(an,an-1)· eq \f(an-1,an-2)· eq \f(an-2,an-3)·……· eq \f(a3,a2)· eq \f(a2,a1)= eq \f(n,n-