位于通道内、质量为
的物体距地心
为
时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以
表
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示为
， （1）
式中
是以地心
为球心、以
为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以
表示地球的密度，此质量可以表示为
（2）
于是，质量为
的物体所受地球的引力可以改写为
（3）
作用于质量为
的物体的引力在通道方向的分力的大小为
（4）
（5）
为
与通道的中垂线
间的夹角，
为物体位置到通道中
点
的距离，力的方向指向通道的中点
。在地面上物体的重力可以表示为
（6）
式中
是地球的质量。由上式可以得到
（7）
由以上各式可以求得
（8）
可见，
与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为
（9）
物体将以
为平衡位置作简谐振动，振动周期为
。取
处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为
的静止物体到达
处的速度为
，则根据能量守恒，有
（10）
式中
表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得
（11）
可见，到达通道中点
的速度与物体的质量无关。
设想让质量为
的物体静止于出口
处，质量为
的物体静止于出口
处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点
处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是
，方向相反，刚碰撞后，质量为
的物体的速度为
，质量为
的物体的速度为
，若
规定
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速度方向由
向
为正，则有
， （12）
（13）
解式（12）和式（13），得
（14）
质量为
的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口
处时的速度为
，则有
（15）
由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
（16）
的方向沿着通道。根据
题
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意，卫星上的装置可使
的方向改变成沿地球
处的切线方向，如果
的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有
（17）
由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到
（18）
已知
m，则得
（19）
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浙公网安备 33021202002483