matlab学习强烈推荐-04-概率统计

MATLAB6.0数学手册 第 4章 概率统计 本章介绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于 MatlabR12\Toolbox\Stats中。 4.1 随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生 命令 参数为 N，P的二项随机数据 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为 N、P的二 项分布的随机数，N、P大小相同。 R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与 R同维数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示 R的行数和列数 例 4-1 >> R=binornd(10,0.5) R = 3 >> R=binornd(10,0.5,1,6) R = 8 1 3 7 6 4 >> R=binornd(10,0.5,[1,10]) R = 6 8 4 6 7 5 3 5 6 2 >> R=binornd(10,0.5,[2,3]) R = 7 5 8 6 5 6 >>n = 10:10:60; >>r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 1 2 >>r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 1 3 1 4.1.2 正态分布的随机数据的产生 命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为 SIGMA的正态分布的 134 第 4章 概率统计 随机数据，R可以是向量或矩阵。 R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与 R同维数。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示 R的行数和列数 例 4-2 >>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827 >>n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 >>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵 n3 = 0.9299 1.9361 2.9640 4.1246 5.0577 5.9864 >> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为 10，sigma为 0.5的 2行 3列个正态随机数 R = 9.7837 10.0627 9.4268 9.1672 10.1438 10.5955 4.1.3 常见分布的随机数产生 常见分布的随机数的使用格式与上面相同 表 4-1 随机数产生函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) [A,B]上均匀分布(连续) 随机数 Unidrnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数 Exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为 Lambda的指数分布随机数 Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为MU，SIGMA的正态分布随机数 chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为 N的卡方分布随机数 Trnd trnd(N,m,n) 自由度为 N的 t分布随机数 Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数 gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为 A, B的 分布随机数 γ betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为 A, B的β分布随机数 lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数 nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为 R，P的负二项式分布随机数 ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数 nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta的非中心 t分布随机数 ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta的非中心卡方分布随机数 raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为 B的瑞利分布随机数 weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为 A, B的韦伯分布随机数 binornd binornd(N,P,m,n) 参数为 N, p的二项分布随机数 geornd geornd(P,m,n) 参数为 p的几何分布随机数 hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为 M，K，N的超几何分布随机数 Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为 Lambda的泊松分布随机数 4.1.4 通用函数求各分布的随机数据 命令 求指定分布的随机数 函数 random 135 MATLAB6.0数学手册 格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表 4-2；A1，A2，A3为分 布的参数；m，n指定随机数的行和列 例 4-3 产生 12（3行 4列）个均值为 2，标准差为 0.3的正态分布随机数 >> y=random('norm',2,0.3,3,4) y = 2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178 4.2 随机变量的概率密度计算 4.2.1 通用函数计算概率密度函数值 命令 通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf 格式 Y=pdf(name，K，A) Y=pdf(name，K，A，B) Y=pdf(name，K，A，B，C) 说明 返回在 X=K处、参数为 A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是 不同；name为分布函数名，其取值如表 4-2。 表 4-2 常见分布函数表 name的取值 函数说明 'beta' 或 'Beta' Beta分布 'bino' 或 'Binomial' 二项分布 'chi2' 或 'Chisquare' 卡方分布 'exp' 或 'Exponential' 指数分布 'f' 或 'F' F分布 'gam' 或 'Gamma' GAMMA分布 'geo' 或 'Geometric' 几何分布 'hyge' 或 'Hypergeometric' 超几何分布 'logn' 或 'Lognormal' 对数正态分布 'nbin' 或 'Negative Binomial' 负二项式分布 'ncf' 或 'Noncentral F' 非中心 F分布 'nct' 或 'Noncentral t' 非中心 t分布 'ncx2' 或 'Noncentral Chi-square' 非中心卡方分布 'norm' 或 'Normal' 正态分布 'poiss' 或 'Poisson' 泊松分布 'rayl' 或 'Rayleigh' 瑞利分布 't' 或 'T' T分布 'unif' 或 'Uniform' 均匀分布 'unid' 或 'Discrete Uniform' 离散均匀分布 'weib' 或 'Weibull' Weibull分布 例如二项分布：设一次试验，事件 A发生的概率为 p，那么，在 n次独立重复试验中， 事件 A恰好发生 K次的概率 P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 4-4 计算正态分布 N（0，1）的随机变量 X在点 0.6578的密度函数值。 136 第 4章 概率统计 解：>> pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例 4-5 自由度为 8的卡方分布，在点 2.18处的密度函数值。 解：>> pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363 4.2.2 专用函数计算概率密度函数值 命令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf (k, n, p) %等同于 )p,n,Kobin(pdf ′′ ， p — 每次试验事件 A发生的概 率；K—事件 A发生 K次；n—试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 )Lamda,K,spois(pdf ′′ 命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在 K处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表 4-3。 表 4-3 专用函数计算概率密度函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifpdf unifpdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在 X=x处的函数值 unidpdf Unidpdf(x,n) 均匀分布（离散）概率密度函数值 Exppdf exppdf(x, Lambda) 参数为 Lambda的指数分布概率密度函数值 normpdf normpdf(x, mu, sigma) 参数为 mu，sigma的正态分布概率密度函数值 chi2pdf chi2pdf(x, n) 自由度为 n的卡方分布概率密度函数值 Tpdf tpdf(x, n) 自由度为 n的 t分布概率密度函数值 Fpdf fpdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值 gampdf gampdf(x, a, b) 参数为 a, b的 分布概率密度函数值 γ betapdf betapdf(x, a, b) 参数为 a, b的β分布概率密度函数值 lognpdf lognpdf(x, mu, sigma) 参数为 mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值 nbinpdf nbinpdf(x, R, P) 参数为 R，P的负二项式分布概率密度函数值 Ncfpdf ncfpdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值 Nctpdf nctpdf(x, n, delta) 参数为 n，delta的非中心 t分布概率密度函数值 ncx2pdf ncx2pdf(x, n, delta) 参数为 n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值 raylpdf raylpdf(x, b) 参数为 b的瑞利分布概率密度函数值 weibpdf weibpdf(x, a, b) 参数为 a, b的韦伯分布概率密度函数值 binopdf binopdf(x,n,p) 参数为 n, p的二项分布的概率密度函数值 geopdf geopdf(x,p) 参数为 p的几何分布的概率密度函数值 hygepdf hygepdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N的超几何分布的概率密度函数值 poisspdf poisspdf(x,Lambda) 参数为 Lambda的泊松分布的概率密度函数值 例 4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为 1、5、15的图形 >> x=0:0.1:30; >> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') >> hold on 137 MATLAB6.0数学手册 >> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+') >> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o') >> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域 则图形为图 4-1。 4.2.3 常见分布的密度函数作图 1．二项分布 例 4-7 >>x = 0:10; 图 4-1 >>y = binopdf(x,10,0.5); >>plot(x,y,'+') 2．卡方分布 例 4-8 >> x = 0:0.2:15; >>y = chi2pdf(x,4); >>plot(x,y) 0 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 图 4-2 3．非中心卡方分布 例 4-9 >>x = (0:0.1:10)'; >>p1 = ncx2pdf(x,4,2); >>p = chi2pdf(x,4); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 4．指数分布 例 4-10 >>x = 0:0.1:10; >>y = exppdf(x,2); >>plot(x,y) 0 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 图 4-3 138 第 4章 概率统计 5．F分布 例 4-11 >>x = 0:0.01:10; >>y = fpdf(x,5,3); >>plot(x,y) 6．非中心 F分布 例 4-12 >>x = (0.01:0.1:10.01)'; >>p1 = ncfpdf(x,5,20,10); >>p = fpdf(x,5,20); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8 10 12 0 0.2 0.4 0.6 0.8 图 4-4 7．Γ分布 例 4-13 >>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); >>y = gampdf(x,100,10); >>y1 = normpdf(x,1000,100); >>plot(x,y,'-',x,y1,'-.') 8．对数正态分布 例 4-14 >>x = (10:1000:125010)'; >>y = lognpdf(x,log(20000),1.0); >>plot(x,y) >>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000]) >>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',… '$90,000','$120,000')) 700 800 900 1000 1100 1200 1300 0 1 2 3 4 5 x 10 3 0 $30,000 $60,000 $90,000 $120,000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 -5 图 4-5 139 MATLAB6.0数学手册 9．负二项分布 例 4-15 >>x = (0:10); >>y = nbinpdf(x,3,0.5); >>plot(x,y,'+') 10．正态分布 例 4-16 >> x=-3:0.2:3; >> y=normpdf(x,0,1); >> plot(x,y) 0 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 图 4-6 11．泊松分布 例 4-17 >>x = 0:15; >>y = poisspdf(x,5); >>plot(x,y,'+') 12．瑞利分布 例 4-18 >>x = [0:0.01:2]; >>p = raylpdf(x,0.5); >>plot(x,p) 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 图 4-7 13．T分布 例 4-19 >>x = -5:0.1:5; >>y = tpdf(x,5); >>z = normpdf(x,0,1); >>plot(x,y,'-',x,z,'-.') 14．威布尔分布 140 第 4章 概率统计 例 4-20 >> t=0:0.1:3; >> y=weibpdf(t,2,2); >> plot(y) -5 0 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.5 1 1.5 图 4-8 4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值) 4.3.1 通用函数计算累积概率值 命令 通用函数 cdf用来计算随机变量 KX ≤ 的概率之和（累积概率值） 函数 cdf 格式 )A,K,enam(cdf ′′ )B,A,K,enam(cdf ′′ )C,B,A,K,enam(cdf ′′ 说明 返回以 name为分布、随机变量 X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见 表 4-1 常见分布函数表 例 4-21 求标准正态分布随机变量 X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计 教材中的附表：标准正态数值表）。 解： >> cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554 例 4-22 求自由度为 16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率 >> cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.0250 4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量 KX ≤ 的概率之和） 命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件 A发生的概率，k为 n 次试验中事件 A发生的次数，该命令返回 n次试验中事件 A 恰好发生 k次的概率。 141 MATLAB6.0数学手册 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf( ) %返回 F(x)= 的值，mu、sigma 为正态分布的 两个参数 sigma,mu,x ∫ ∞−x dt)t(p 例 4-23 设X~N（3, 22） （1）求 }3X{P},2X{P},10X4{P},5X2{P >><<−<< （2）确定 c，使得 }cX{P}cX{P <=> 解（1） p1= }52{ << XP p2= }104{ <<− XP p3= }2{1}2{ ≤−=> XPXP p4= }3X{P1}3X{P ≤−=> 则有： >>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) p1 = 0.5328 >>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2) p2 = 0.9995 >>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2) p3 = 0.6853 >>p4=1-normcdf(3,3,2) p4 = 0.5000 专用函数计算累积概率值函数列表如表 4-4。 表 4-4 专用函数的累积概率值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifcdf unifcdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} unidcdf unidcdf(x,n) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} expcdf expcdf(x, Lambda) 参数为 Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} normcdf normcdf(x, mu, sigma) 参数为 mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} chi2cdf chi2cdf(x, n) 自由度为 n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} tcdf tcdf(x, n) 自由度为 n的 t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} fcdf fcdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值 gamcdf gamcdf(x, a, b) 参数为 a, b的 γ分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} betacdf betacdf(x, a, b) 参数为 a, b的β分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} logncdf logncdf(x, mu, sigma) 参数为 mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值 nbincdf nbincdf(x, R, P) 参数为 R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncfcdf ncfcdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 nctcdf nctcdf(x, n, delta) 参数为 n，delta的非中心 t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncx2cdf ncx2cdf(x, n, delta) 参数为 n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值 raylcdf raylcdf(x, b) 参数为 b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} weibcdf weibcdf(x, a, b) 参数为 a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} binocdf binocdf(x,n,p) 参数为 n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} geocdf geocdf(x,p) 参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} hygecdf hygecdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值 poisscdf poisscdf(x,Lambda) 参数为 Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 142 第 4章 概率统计 说明 累积概率函数就是分布函数 F(x)=P{X≤x}在 x处的值。 4.4 随机变量的逆累积分布函数 MATLAB中的逆累积分布函数是已知 }xX{P)x(F ≤= ，求 x。 逆累积分布函数值的计算有两种方法 4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值 命令 icdf 计算逆累积分布函数 格式 )a,a,a,P,enam(icdf 321′′ 说明 返回分布为 name，参数为 ，累积概率值为 P的临界值，这里 name与前 面表 4.1相同。 321 a,a,a 如果 )a,a,a,x,enam(cdfP 321′′= ，则 )a,a,a,P,enam(icdfx 321′′= 例 4-24 在标准正态分布表中，若已知 )x(Φ =0.975，求 x 解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1) x = 1.9600 例 4-25 在 分布表中，若自由度为 10，2χ α =0.975，求临界值 Lambda。 解：因为表中给出的值满足 ，而逆累积分布函数 icdf求满足 的临界值λ。所以，这里的 取为 0.025，即 α=λ>χ }{P 2 α=λ<χ }{P 2 α >> Lambda=icdf('chi2',0.025,10) Lambda = 3.2470 例 4-26 在假设检验中，求临界值问题： 已知： 05.0=α ，查自由度为 10的双边界检验 t分布临界值 >>lambda=icdf('t',0.025,10) lambda = -2.2281 4.4.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数 命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X 为临界值，满足：p=P{X≤x}。 例 4-27 设 ，确定 c使得)2,3(N~X 2 }cX{P}cX{P <=> 。 解：由 }cX{P}cX{P <=> 得， }cX{P}cX{P <=> =0.5，所以 >>X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3 关于常用临界值函数可查下表 4-5。 143 MATLAB6.0数学手册 表 4-5 常用临界值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifinv x=unifinv (p, a, b) 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求 x） unidinv x=unidinv (p,n) 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值 expinv x=expinv (p, Lambda) 指数分布逆累积分布函数 norminv x=Norminv(x,mu,sigma) 正态分布逆累积分布函数 chi2inv x=chi2inv (x, n) 卡方分布逆累积分布函数 tinv x=tinv (x, n) t分布累积分布函数 finv x=finv (x, n1, n2) F分布逆累积分布函数 gaminv x=gaminv (x, a, b) γ分布逆累积分布函数 betainv x=betainv (x, a, b) β分布逆累积分布函数 logninv x=logninv (x, mu, sigma) 对数正态分布逆累积分布函数 nbininv x=nbininv (x, R, P) 负二项式分布逆累积分布函数 ncfinv x=ncfinv (x, n1, n2, delta) 非中心 F分布逆累积分布函数 nctinv x=nctinv (x, n, delta) 非中心 t分布逆累积分布函数 ncx2inv x=ncx2inv (x, n, delta) 非中心卡方分布逆累积分布函数 raylinv x=raylinv (x, b) 瑞利分布逆累积分布函数 weibinv x=weibinv (x, a, b) 韦伯分布逆累积分布函数 binoinv x=binoinv (x,n,p) 二项分布的逆累积分布函数 geoinv x=geoinv (x,p) 几何分布的逆累积分布函数 hygeinv x=hygeinv (x,M,K,N) 超几何分布的逆累积分布函数 poissinv x=poissinv (x,Lambda) 泊松分布的逆累积分布函数 例 4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过 1% 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的。设男 子身高 X（单位：cm）服从正态分布 N（175，36），求车门的最低高度。 解：设 h为车门高度，X为身高 求满足条件 的 h，即01.0}hX{P ≤> 99.0}hX{P ≥< ，所以 >>h=norminv(0.99, 175, 6) h = 188.9581 例 4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在MATLAB的编辑器下建立M文件如下： n=5; a=0.9; %n为自由度，a为置信水平或累积概率 x_a=chi2inv(a,n)； %x_a 为临界值 x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算 的概率密度函数值，供绘图用 )5(2χ plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用 fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点 图 4-9 text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)']) %图中标注 text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注 结果显示如图 4-9。 144 第 4章 概率统计 4.5 随机变量的数字特征 4.5.1 平均值、中值 命令 利用 mean求算术平均值 格式 mean(X) %X为向量，返回 X中各元素的平均值 mean(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的平均值构成的向量 mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值 说明 X为向量时，算术平均值的数学含义是 ∑ = = n 1i ixn 1x ，即样本均值。 例 4-30 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> mean(A) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 >> mean(A,1) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 命令 忽略 NaN计算算术平均值 格式 nanmean(X) %X为向量，返回 X中除 NaN外元素的算术平均值。 nanmean(A) %A为矩阵，返回 A中各列除 NaN外元素的算术平均值向量。 例 4-31 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmean(A) ans = 2.0000 4.6667 2.5000 命令 利用 median计算中值（中位数） 格式 median(X) %X为向量，返回 X中各元素的中位数。 median(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的中位数构成的向量。 median(A,dim) %求给出的维数内的中位数 例 4-32 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> median(A) ans = 145 MATLAB6.0数学手册 1 3 4 5 命令 忽略 NaN计算中位数 格式 nanmedian(X) %X为向量，返回 X中除 NaN外元素的中位数。 nanmedian(A) %A为矩阵，返回 A中各列除 NaN外元素的中位数向量。 例 4-33 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmedian(A) ans = 2.0000 5.0000 2.5000 命令 利用 geomean计算几何平均数 格式 M=geomean(X) %X为向量，返回 X中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的几何平均数构成的向量。 说明 几何平均数的数学含义是 n1)x(M n 1i i∏ = = ，其中：样本数据非负，主要用于对数正 态分布。 例 4-34 >> B=[1 3 4 5] B = 1 3 4 5 >> M=geomean(B) M = 2.7832 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=geomean(A) M = 1.2599 3.0000 2.5198 5.3133 命令 利用 harmmean求调和平均值 格式 M=harmmean(X) %X为向量，返回 X中各元素的调和平均值。 M=harmmean(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的调和平均值构成的向量。 说明 调和平均值的数学含义是 ∑ = = n 1i ix 1 nM ，其中：样本数据非 0，主要用于严重偏斜 分布。 例 4-35 >> B=[1 3 4 5] B = 1 3 4 5 >> M=harmmean(B) M = 146 第 4章 概率统计 2.2430 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=harmmean(A) M = 1.2000 3.0000 2.0000 5.2941 4.5.2 数据比较 命令 排序 格式 Y=sort(X) %X为向量，返回 X按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A为矩阵，返回 A的各列按由小到大排序后的矩阵。 [Y,I]=sort(A) % Y为排序的结果，I中元素表示 Y中对应元素在 A中位置。 sort(A,dim) %在给定的维数 dim内排序 说明 若 X为复数，则通过|X|排序。 例 4-36 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> sort(A) ans = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 >> [Y,I]=sort(A) Y = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 I = 1 1 3 3 2 2 2 3 1 命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A) %A为矩阵，返回矩阵 Y，Y按 A的第 1列由小到大，以 行方式排序后生成的矩阵。 Y=sortrows(A, col) %按指定列 col由小到大进行排序 [Y,I]=sortrows(A, col) % Y为排序的结果，I表示 Y中第 col列元素在 A中位置。 说明 若 X为复数，则通过|X|的大小排序。 例 4-37 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 147 MATLAB6.0数学手册 3 7 0 >> sortrows(A) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,1) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,3) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> sortrows(A,[3 2]) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> [Y,I]=sortrows(A,3) Y = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 I = 3 2 1 命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X) %X为向量，返回 X中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的最大值与最小值之差。 例 4-38 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> Y=range(A) Y = 3 5 3 4.5.3 期望 命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例 4-39 随机抽取 6个滚珠测得直径如下：（直径：mm） 14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 试求样本平均值 解：>>X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]； >>mean(X) %计算样本均值 148 第 4章 概率统计 则结果如下： ans = 15.0600 命令 由分布律计算均值 利用 sum函数计算 例 4-40 设随机变量 X的分布律为： X -2 -1 0 1 2 P 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3 求E (X) E(X2-1) 解：在Matlab编辑器中建立M文件如下： X=[-2 -1 0 1 2]; p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1 EY=sum(Y.*p) 运行后结果如下： EX = 0 Y = 3 0 -1 0 3 EY = 1.6000 4.5.4 方差 命令 求样本方差 函数 var 格式 D=var(X) %var(X)= ∑ = −−= n 1i 2 i 2 )Xx(1n 1s ,若X为向量，则返回向量的样本方差。 D=var(A) %A为矩阵，则 D为 A的列向量的样本方差构成的行向量。 D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为 n 1 的方差） D=var(X, w) %返回向量（矩阵）X的以 w为权重的方差 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X) %返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为 1n 1− ）即： ∑ = −−= n 1i i Xx1n 1std std(X,1) %返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为 n 1 ） std(X, 0) %与 std (X)相同 std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为 dim 的标准差值，其中 flag=0 时，置前因子为 1n 1 − ；否则置前因子为 n 1 。 149 MATLAB6.0数学手册 例 4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差 14.70 15.21 14.90 15.32 15.32 解： >>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; >>DX=var(X,1) %方差 DX = 0.0559 >>sigma=std(X,1) %标准差 sigma = 0.2364 >>DX1=var(X) %样本方差 DX1 = 0.0671 >>sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590 命令 忽略 NaN的标准差 函数 nanstd 格式 y = nanstd(X) %若 X为含有元素 NaN的向量，则返回除 NaN外的元素的标准 差，若 X为含元素 NaN的矩阵，则返回各列除 NaN外的标准差 构成的向量。 例 4-42 >> M=magic(3) %产生 3阶魔方阵 M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换 3阶魔方阵中第 1、6、8个元素为 NaN M = NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 >> y=nanstd(M) %求忽略 NaN的各列向量的标准差 y = 0.7071 2.8284 2.8284 >> X=[1 5]; %忽略 NaN的第 2列元素 >> y2=std(X) %验证第 2列忽略 NaN元素的标准差 y2 = 2.8284 命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y = skewness(X) %X为向量，返回 X的元素的偏斜度；X为矩阵，返回 X各 列元素的偏斜度构成的行向量。 y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的 数据比均值右边的数据更散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散， 因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： 3 3)x(Ey σ μ−= 150 第 4章 概率统计 其中：μ为 x的均值，σ为 x的标准差，E(.)为期望值算子 例 4-43 >> X=randn([5,4]) X = 0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686 -1.3362 1.2540 0.6900 1.1908 0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025 1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198 -0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567 >> y=skewness(X) y = -0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652 >> y=skewness(X,0) y = -0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954 4.5.5 常见分布的期望和方差 命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat 格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差， A、B也可为向量或矩阵，则M、V也是向量或矩阵。 例 4-44 >>a = 1:6; b = 2.*a; >>[M,V] = unifstat(a,b) M = 1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000 V = 0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000 命令 正态分布的期望和方差 函数 normstat 格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU、SIGMA可为标量也可为向量或矩阵， 则M=MU，V=SIGMA2。 例 4-45 >> n=1:4; >> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n) M = 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 V = 1 4 9 16 4 16 36 64 9 36 81 144 16 64 144 256 命令 二项分布的均值和方差 函数 binostat 格式 [M,V] = binostat(N,P) %N，P为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量 或矩阵。 151 MATLAB6.0数学手册 例 4-46 >>n = logspace(1,5,5) n = 10 1