湖南省十二校2009年4月高三第二次联考试卷——数学（理）

湖南省2009届高三 十二校联考 第二次考试 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 试卷（理科） 总分：150分 时量：120分钟 2009年4月5日 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 隆回一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）. 1．集合 的真子集的个数为 （ ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．复数（ ）2（其中i为虚数单位）的虚部等于 （ ） A．－i B．1 C．－1 D．0 3．设函数 在区间 上连续，则实数 的值为 ( ) A．2 B．1 C．0 D．3 4. 已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( ) A. 135 B. 270 C. 540 D. 1215 5．下面四个命题： 　　①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”； ②“直线 ⊥平面 内所有直线”的充要条件是“ ⊥平面 ”； ③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”； ④“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 6．已知 ，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 7．已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数 ， ， ，使 ＋ ＋ = ，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA （ ） A．都是锐角 B．至多有两个钝角 C．恰有两个钝角 D．至少有两个钝角。 8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ） A． B． C． D． 9．双曲线 － ＝1的左右焦点分别为F1 ﹑F2，在双曲线上存在点P，满足︱PF1︱＝5︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ） A． B． C． D．2 10．f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数 a ﹑b ，若a ＜ b，则必有 （ ） A．a f (a)≤b f (b) B．a f (a)≥b f (b) C．a f (b)≤b f (a) D．a f (b)≥b f (a) 二、填空题:（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）. 11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1, ), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足： 0≤ ≤1,0≤ ≤1,则 的最大值为＿＿＿＿＿． 12．已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的 的解集为 13．已知 ＝1，则 ＝＿＿＿＿＿． 14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿． 15．已知抛物线的方程为 ，直线 与抛物线交于A,B两点，且以弦AB 为直径的圆 与抛物线的准线相切，则弦AB的中点 的轨迹方程为 ；当直线 的倾斜角为 时，圆 的半径为 ． 三、解答题:（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分） 已知向量a＝(cos , sin ), b＝(cos ,－ sin ), 且x∈[0, ]. (1) 求a·b及︱a＋b︱； (2)若f (x)= a·b－2 ︱a＋b︱的最小值为－7, 求实数 的值. 17．（本小题满分12分） 某公司科研部研发了甲﹑乙两种产品的新一代产品，在投产上市前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A ，B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投产上市，否则不能投产上市。 (1)已知甲﹑乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，分别求出甲﹑乙两种新一代产品能投产上市的概率P甲﹑P乙； 第一项技术指标 第二项技术指标 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 (2)若甲﹑乙两种新一代产品能投产上市，可分别给公司创造100万元﹑150万元的利润；否则将分别给公司造成10万元﹑20万元的损失，在1）的条件下，用 ﹑ 分别表示甲﹑乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润，求 ﹑ 的分布列及E ﹑E . 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C. 1）求证：D点为棱BB1的中点； 2）若二面角A －A1D － C的平面角为600，求 的值。 19．（本小题满分13分） 设正项数列｛ ｝的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n ＞ m时， 总成立。 1）求证数列｛ ｝是等比数列； 2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： ＋ ≥ 。 20．（本小题满分13分） 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。 1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ； 2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" ＋sin HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" 成立。 21．（本小题满分13分） 我们知道：函数y＝f (x)如果存在反函数y＝f -1 (x)，则y＝f (x)的图像与y＝f -1 (x)图像关于直线y＝x对称。若y＝f (x)的图像与y＝f -1 (x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y＝x上；例如函数f (x)＝ 。 （1）若函数y＝f (x)在其定义域上是增函数，且y＝f (x)的图像与其反函数y＝f -1 (x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y＝x上； （2）对问题：“函数f (x)＝a x (a＞1)与其反函数f -1 (x)＝logax的图像有多少个公共点？”有如下观点： 观点①：“当a＞1时两函数图像没有公共点，只有当0＜a＜1时两函数图像才有公共点”。 观点②：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x)＝a x (a＞1)的图像与直线y＝x的公共点的个数，为此可构造函数F (x)＝a x－x(a＞1)，然后可利用F (x)的最小值进行讨论”。 请参考上述观点，讨论函数f (x)＝ax (a＞1)与其反函数f -1 (x)＝logax图像公共点的个数。 数学试卷（理科）参考解答 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C D B D B B C 11. 4. 12. [－1,－ )∪(0, ).. 13. 。 14. 24. 15. （3分）、 （2分）。 16.解：（1）∵ a = (cos , sin ), b = (cos ,－ sin ) ∴ a·b ＝cos cos ＋sin （－ sin ）＝cos cos －sin sin ＝cos（ ＋ ）＝cos2x ………3分 又易知：︱a︱＝1,︱b︱＝1 ∴︱a＋b︱2 ＝ a 2＋b 2＋2 a·b ＝1＋1＋2 cos2x＝4cos2x ，且x∈[0, ], ∴︱a＋b︱＝2cosx. ………6分 （2) f (x)＝ a·b－2 ︱a＋b︱ ＝cos2x－2 (2cosx) ＝2cos2x－4 cosx － 1 ＝2(cosx－ )2－2 2－1 ………8分 若 ＜0，当cosx＝0时，f (x)取得最小值－1，不合题意； 若 ＞1，当cosx＝1时，f (x)取得最小值1－4 ，由题意有1－4 ＝－7，得 ＝2； 若0≤ ≤1，当cosx＝ 时，f (x)取得最小值－2 2－1，由题意有－2 2－1＝－7，得 ＝± (舍去)。 综上所述： ＝2。 ………12分 17．解： 1）由题意有： P甲 ＝ 0.8×0.85＝ 0.68 ； ………3分 P乙 ＝ 0.75×0.8＝ 0.6 。 ………6分 2）随机变量 ﹑ 的分布列分别是： 100 －10 P 0.68 0.32 150 －20 P 0.6 0.4 ………9分 E ＝ 100×0.68＋（－10）×0.32 ＝ 64.8 ； E ＝ 150×0.6＋（－20）×0.4 ＝ 82 。 ………12分 18．解： 1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF。 ∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C ∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分 又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC， ∴BF⊥面AA1C1C 由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面， 又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1， 又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝ AA1 ＝ BB1， 所以D点为棱BB1的中点； ………6分 2）解法1：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B， 过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH， 由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； ………9分 设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ； 在直角三角形A1A G中，易知 AB ＝ BG。 在直角三角形DB G中，BH ＝ ＝ ， 在直角三角形CHB中，tan∠CHB ＝ ＝ ， 据题意有： ＝ tan600 ＝ ，解得： ， 所以 ＝ 。 ………12分 2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ， 则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， ………8分 设面DA1C的法向量为 则 可取 又可取平面AA1DB的法向量 cos〈 〉 ………10分 据题意有： ，解得： ＝ ………12分 说明：考生的其他不同解法，请参照给分。 19．解： 1）因为对任意正整数n, m，当n ＞ m时， 总成立。 所以当 ≥2时： ，即 ，且 也适合，又 ＞0， 故当 ≥2时： （非零常数），即｛ ｝是等比数列。 ………5分 2）若 ，则 。所以 ≥ 。 ………7分 若 ，则 ， ， 。 ………8分 所以 ≥ 。 ………10分 又因为 ≤ 。所以 ≥ ≥ 。 综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 ＋ ≥ 总成立。 当且仅当 时取“＝”。 ………13分 20．解： 1）设椭圆的焦距为2c,因为 ，所以有 ，故有 。从而椭圆C的方程可化为： ① ………2分 易知右焦点F的坐标为（ ）， 据题意有AB所在的直线方程为： ② ………3分 由①，②有： ③ 设 ，弦AB的中点 ，由③及韦达定理有： 所以 ，即为所求。 ………5分 2）显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ，使得等式 成立。设 ，由1）中各点的坐标有： ，所以 。 ………7分 又点在椭圆C上，所以有 整理为 。 ④ 由③有： 。所以 ⑤ 又A﹑B在椭圆上，故有 ⑥ 将⑤，⑥代入④可得： 。 ………11分 对于椭圆上的每一个点 ，总存在一对实数，使等式 成立，而 在直角坐标系 中，取点P（ ），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为 ，显然 。 也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" ＋sin HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" 成立。 ………13分 21．解； 1）设点M（x0, y0）是函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f -1 (x)的图像的公 点，则有：y0＝f (x0) ， y0 ＝ f -1 (x0)，据反函数的意义有：x0 ＝ f (y0)。 ………2分 所以：y0 ＝ f (x0)且同时有x0 ＝ f (y0)。 若x0 ＜ y0 ，因为函数y ＝ f (x) 是其定义域上是增函数， 所以有：f (x0) ＜ f (y0) ，即y0 ＜ x0 与 x0 ＜ y0矛盾，这说明x0 ＜ y0是错误的。 同理可证x0 ＞ y0也是错误的。 所以x0 ＝ y0 ，即函数y ＝ f (x)的图像与其反函数y ＝ f -1 (x)的图像有公共点在直线y ＝ x上； ………5分 2）构造函数F (x)＝a x－x(a＞1) 因为F′ (x)＝ a xlna － 1（a ＞ 1）， ………6分 令F′ (x)＝ a xlna － 1≥0， 解得：x ≥ 。 所以当x ≥ 时：F′ (x)≥0，F (x)在区间 上是增函数； 当x ≤ 时：F′ (x)≤0，F (x)在区间 上是减函数。 所以F (x)的最小值为F (x)min＝F ( )＝ － 。………9分 令 － ＞0，解得：a ＞ 。 故当a＞ 时：F (x)min ＝F ( )＞0，所以方程F (x)＝a x－x ＝0无实数解，这说明函数f (x)＝a x (a＞1)的图像与直线y＝x没有公共点； ………10分 当a＝ 时：F (x)min ＝F ( )＝F (e)＝0，所以方程F (x)＝a x－x ＝0有唯一实数解x ＝ ＝e。这说明函数f (x)＝a x (a＞1)的图像与直线y＝x有唯一公共点； ………11分 当a＜ 时：F (x)min ＝F ( )＜0，所以方程F (x)＝a x－x ＝0有两相异的实数解 （设 ＜ )。 本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 联合命题 由 A1 C1 B1 A C BA1 D A1 C1 B1 A C BA1 D H E F G A1 C1 B1 A C BA1 D y O x Z 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 、 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 免费下载