PAGEPAGE1(微lily2064)高中数学三角形形状的判定判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：基本知识点：（1）等腰三角形a=b或A=B（2）直角三角形或A=（3）钝角三角形或A（4）锐角三角形若a为最大边且或A为最大角且A2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；统一成边进行判断，常用余弦定理、面积
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等；常见的题型有：利用三角形三边的代数关系直接判断在三角形ABC中，三边a、b、c满足，试判断三角形的形状。解析：则c边最大，且，，，则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形。二、运用三角函数的关系直接判断2、（05北京）在中已知那么一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形D、正三角形解析：3、在△ABC中，已知＝cos2，试判断此三角形的类型.解析：∵＝cos2∴＝∴2＝1＋将代入上式得∴cos（B－C）＝1又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0∴B＝C故此三角形是等腰三角形.评述：(1)此题在
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过程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos2－1的逆用.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形三、运用向量进行判断4、(06陕西卷)已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．5、在中，设若判断的形状。解析：，，同理，两式相减，得，，=，，同理，，故是等边三角形。四、运用正（余）弦定理判断6、在△ABC中，试判断三角形的形状分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵∴b·∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2∴a2＝b2∴a＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵又∴∴∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴A－B＝0即A＝B故此三角形是等腰三角形.评述：(1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式端同除以得，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.7、在中，如果=，且角为锐角，判断此三角形的形状。解析：由=，得，，又是锐角，，又，即由正弦定理，得：，，，，故此三角形是等腰直角三角形。巩固练习：在中，若试判断的形状。解一：由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形。解二：由已知条件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即，，为等腰三角形或直角三角形。小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：三角形的内角和定理A+B+C=，大边对大角；等；三角形面积公式。
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